Se $X = \{ |p(z)|<c\}$, mostrano che il confine di $X$ è $\{ |p(z)| = c\}$ e ogni componente di $X$ contiene uno zero di $p$.

Aug 16 2020

Sto provando problemi nell'analisi complessa di un istituto in cui non studio e sono rimasto colpito da questo particolare problema.

Permettere $p$ essere un polinomio non costante, $c>0$ e $X=\{z:p(z)<c\}$. Prova che$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ e anche ogni componente connesso di $X$ contiene uno zero $p$.

Tentativo: Let $C$ essere collegato componente di $X$. Poi$\partial C$ è un sottoinsieme di $\partial X$ e così $|p(z)| \leq c$. Ma non riesco a pensare a nessun altro argomento diverso da questo.

Quindi, gentilmente fai luce su come questo problema dovrebbe essere affrontato.

Risposte

1 zhw. Oct 04 2020 at 03:17

Proprietà semplici di $p$:

i) Da allora $p$ è un polinomio non costante, $p$assume ogni valore complesso. Così i set$X=\{|p|<c\}$ e $\{|p|=c\}$ non sono vuoti.

ii) Il set $X$ è aperto dalla continuità di $|p|.$

iii) $|p(z)|\to \infty$ come $|z|\to\infty.$

Da iii) segue quello $X$è limitato. Altrimenti$X$ conterrebbe una sequenza $z_n$ tale che $|z_n|\to \infty,$ quindi $|p(z_n)|\to \infty,$ violare la definizione di $X.$

Permettere $z\in \partial X.$ Poi $z$ è il limite di una sequenza in $X.$ Ciò implica $|p(z)|\le c.$ Poteva $|p(z)|<c$accadere? No, perché allora$z\in X$e non poteva essere un punto di confine. Ne consegue che$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

Supponiamo ora $|p(z)|=c.$ Permettere $r>0.$ Poi $p(D(z,r))$ è aperto dal teorema di mappatura aperto, quindi contiene punti di modulo inferiori a $c$ e punti di modulo maggiori di $c.$ Così $D(z,r)\cap X$ e $D(z,r)\cap X^c$sono entrambi non vuoti. Da$r$ era arbitrario, $z\in \partial X.$ Questo con l'ultimo paragrafo lo dimostra $\partial X = \{|p|=c\}.$

Ricorda il teorema del modulo massimo: Supponi $U$è un insieme connesso aperto delimitato. Permettere$f$ essere continuo $\overline U$ e olomorfo su $U.$ Se il massimo di $|f|$ Si verifica $U,$ poi $f$ è costante.

Quindi ora lascia $C$ essere un componente connesso di $X.$ Sappiamo $\partial C \subset \partial X,$ il che implica $|p|=c$ sopra $\partial C.$ E naturalmente $|p|<c$ in $C.$

Assumere $C$ non contiene uno zero di $p.$ Poi $p$ è diverso da zero $\overline C,$un set compatto. Così$|p|$ raggiunge un minimo positivo in alcuni $z_0 \in \overline C.$ Dalla MMT, $z_0\in C.$ Ma attenzione $1/p$soddisfa le ipotesi della MMT. Quindi, usando nuovamente MMT,

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

Da $|p(z_0|<c,$ abbiamo una contraddizione e abbiamo finito.