Sequenze di Følner dalle forme strane
Permettere $G$essere un gruppo discreto e finitamente generato. Richiama questo$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$è una sequenza di Følner se$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ per ogni $g \in G$. Come è noto, l'esistenza di una sequenza di Følner è equivalente alla disponibilità di$G$.
Si dice spesso che le sequenze di Følner abbiano forme strane . La mia domanda debole è: quali esempi abbiamo a sostegno di questa affermazione? Certamente se$G$è di crescita subesponenziale quindi una sottosequenza di palline forma una sequenza di Følner, e questa non ha una forma strana . Quindi, più specificamente: quali esempi di gruppi di crescita esponenziale conosciamo che hanno sequenze di Følner esplicite non fatte di palle?
Come esempi degli esempi che sto chiedendo, la sequenza di Folner a forma di stella richiede insiemi di Følner di una certa forma, mentre una risposta di insiemi e palle di Folner fornisce sequenze esplicite fatte di rettangoli (al contrario di palle). Allo stesso modo, il gruppo ax + b ha una sequenza di Følner composta da rettangoli in cui un lato è esponenzialmente più grande dell'altro.
Risposte
L'algebra è più utile qui delle immagini, ma le immagini sono divertenti, quindi ecco qua. Per convalidare il mio commento sul lampionaio, rendering veloci di una tipica palla e set di lampionaie Følner. In realtà non so quale di questi sia più carino, ma il set di Følner è in realtà quello che sembra più una palla.
Le due immagini sono prese da angolazioni diverse e formano quindi uno stereogramma, quindi se guardi l'immagine più a sinistra con l'occhio destro e viceversa la tua stereopsi dovrebbe intervenire. Trovo utile, se non lo fai puoi ignorarne una le immagini.
Innanzitutto, la palla o il raggio $3$con i generatori dove si muove la testa. Quando la testa si sposta a destra, sali sul diagramma. Sto usando alcune convenzioni, che si spera siano indovinabili.
Ecco un tipico set Følner con gli stessi generatori.
Questa domanda era popolare negli anni '50 e '60 dopo che il teorema di Folner fu dimostrato. Sono stati costruiti molti esempi di strani set Folner. Gli esempi tipici di gruppi in cui i set di Folner non sono né le palle sono i gruppi di lampionaie ei prodotti a corona di infinite gtoup cicliche. Per un articolo più recente si veda Anna Erschler. Su profili isoperimetrici di gruppi finitamente generati. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 e i riferimenti in esso contenuti.
Una risposta alla tua domanda non morbida è che i seguenti gruppi hanno tutti [almeno un] gruppo elettrogeno in cui si sa che le palle non sono Folner, ma un'altra sequenza ("rettangolare") è: Baumslag-Solitar risolvibile, alcuni prodotti per ghirlande (compreso il lampionaio), alcune estensioni di$\mathbb{Z}^d$ di $\mathbb{Z}$ (quelli dati da una matrice senza autovalori di norma 1), alcuni $ax+b$ gruppi e fondamentalmente quasi tutti i gruppi suscettibili di crescita esponenziale la cui serie di crescita è razionale ed è stata calcolata (vedi sotto per i dettagli).
"stranezza" degli insiemi di Folner: come menzionato nella domanda, [una sottosequenza della sequenza di] palline forma una sequenza Folner naturale in qualsiasi gruppo di crescita subesponenziale. Ora, come sottolineato da altri, le palle (rispetto a qualche gruppo di generazione finito) sono abbastanza "brutte". Questo può essere precisato se si considera il concetto di un set Folner ottimale:
Permettere $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (il $\inf$ corre su tutti i set $A$ di dimensioni $\leq n$) essere il profilo isoperimetrico. Quindi un set$F$ è ottimale se $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. In parole: se un set$E$ non è maggiore [dal punto di vista della cardinalità] di $F$, allora è il rapporto isoperimetrico $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, non batte il rapporto isoperimetrico di $F$.
Si può verificare (usando la disuguaglianza di Loomis-Whitney) che Folner sia ottimale $\mathbb{Z}^d$(rispetto al solito gruppo elettrogeno) sono [iper] cubi (o che tendono ad avere una forma rettangolare). Questo è un modo inequivocabile per dire che le palle sono set Folner "goffi". In confronto, gli insiemi ottimali non sono affatto "strani" (poiché devono essere scelti estremamente bene).
Per ulteriori informazioni sulla stranezza, vedere le note a margine di seguito.
Esempi espliciti: Successivamente, dato un gruppo di crescita esponenziale, è una questione aperta se qualsiasi sottosequenza della sequenza di palle sia Folner. Ho dato una risposta parziale che mostra che questo non è il caso quando il gruppo [insieme alla scelta del gruppo elettrogeno] ha pizzicato la crescita esponenziale. Questo include molti prodotti wreath, gruppi Baumslag-Solitar risolvibili e alcune estensioni di$\mathbb{Z}^d$ di $\mathbb{Z}$ (vedere il collegamento per i dettagli).
Questi gruppi possono essere tutti scritti come prodotti semi-diretti. Se$G$ e $H$ sono suscettibili, allora si può dimostrarlo $G \rtimes H$ è suscettibile e che i set di Folner sono della Forma $E_n \times F_n$ (dove $E_n$ [risp. $F_n$] è una sequenza di Folner di $G$ [risp. $H$]). In questo senso, gli insiemi di Folner che incontriamo (pigramente, nel senso che sono prodotti da una dimostrazione generale) in tali gruppi sono "rettangolari".
Da qui i gruppi sopra menzionati [Baumslag-Solitar risolvibili, alcuni gruppi metabelici, gruppi la cui serie di crescita è razionale e non hanno due poli nel raggio di convergenza (che include molti prodotti di ghirlande e $ax+b$-gruppi)] sono una risposta diretta alla tua seconda domanda (per alcuni gruppi elettrogeni). Si sa che le palle (rispetto ai gruppi elettrogeni) non sono Folner ma qualche insieme "rettangolare" lo è (giusto per essere precisi: potrebbero esserci gruppi con un solo polo che non sono prodotti semidiretti o estensioni di gruppi suscettibili; per questi gruppi [ se ne sono noti] non ci sono insiemi "rettangolari").
Per le estensioni non divise, Ycor ha fornito una descrizione dei set Folner. Si noti che si potrebbe adattare il significato di "rettangolare" per estensioni non divise: prendendo una prima immagine dell'insieme di Folner del quoziente moltiplicato per un insieme di Folner del sottogruppo.
Quindi ora si potrebbe pensare che i set "rettangolari" (e non più palline) siano i preferiti. Ma poi ci sono anche semplici gruppi di crescita intermedia vedi questa domanda . E (se non per tali gruppi, allora per altri semplici gruppi di crescita subesponenziale) immagino che le palle siano gli unici candidati che si hanno.
Fondamentalmente, penso che il problema abbia più a che fare con il modo in cui costruiamo gruppi suscettibili. Usiamo sempre le quattro proprietà di suscettibilità (estensione, sottogruppo, quoziente e limite diretto). Quindi quelli iniziano con la crescita come criterio di base e utilizzano queste quattro proprietà (ci sono forse molti modi per farlo). Questo ti darà i set Folner conosciuti per un dato gruppo. Come esempio sciocco si potrebbe dire che il Folner naturale si inserisce$\mathbb{Z}^3$ sono cilindri (sfere in $\mathbb{Z}^2$ volte palle dentro $\mathbb{Z}$).
Nota a margine 1: è una questione aperta di vecchia data per dimostrare cosa sono tali insiemi nel gruppo (continuo) di Heisenberg (sebbene la forma ipotizzata sia ben descritta). Questa era la mia motivazione per questa domanda.
Nota a margine 2: come sottolineato da Ycor, data una sequenza di Folner$F_n$ puoi renderlo "strano quanto vuoi" considerando una sequenza arbitraria di insiemi finiti $E_n$ con $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Uno dei vantaggi di considerare sequenze Folner ottimali sarebbe quello di evitare tali configurazioni (l'ovvio svantaggio è che non ci sono quasi gruppi in cui sono noti insiemi ottimali). Un'ulteriore nota è che l'aggiunta di un tale set$E_n$non ha influenza sulla misura invariante che si ottiene (per un ultrafiltro fisso). Notare che la traduzione degli insiemi può avere un effetto sulla misura limite.
Nota a margine 3: Ecco un altro aspetto della "stranezza" dei set Folner. Considera la sequenza$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, così come $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ di set in $\mathbb{Z}$. Quindi considera la funzione$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. La media invariante da cui si ottiene$P_n$ sopra $f$ è 1 (qualunque sia l'ultrafiltro che scegli), quello che ottieni $M_n$ è $-1$ (di nuovo, qualunque sia l'ultrafiltro) e infine quello che ottieni $A_n$dipende dall'ultafilter che scegli. E potresti costruire per qualsiasi numero reale in$[-1,1]$ una sequenza $R_n$che converge a quel numero (indipendentemente dall'ultrafiltro). Non è troppo difficile costruire una sequenza che può, a seconda dell'ultrafiltro, convergere a qualsiasi numero razionale in$[-1,1]$.