Serie$\sum f(nx)$converge ae per integrabile$f$

Question

Sto affrontando un problema sulla dimostrazione della serie$\sum_{n=1}^\infty |f(nx)|$converge per ae$x$, dove$f\in L^1(\mathbb{R})$.

Inoltre, vorrei chiedere ulteriori informazioni su un'altra serie$\sum_{n=1}^\infty |f(x+n)|$. Immagino che dovrebbe anche convergere ae quando$f\in L^1(\mathbb{R})$, basato sul risultato dell'integrale di Riemann,. Tuttavia non sono nemmeno riuscito a dimostrarlo.

Il mio primo pensiero a questi due problemi è simile: supponendo che ci sia un set$E$con st di misura positiva la serie diverge, ma non ho capito quale sia il passo successivo. Hai qualche idea?

Answer 1

Ci sono due domande qui. Il secondo è più facile. Possiamo supporre$f\ge0$. Su un intervallo limitato della forma$[a,a+1]$,$$\sum_{n=1}^\infty\int_{a}^{a+1}f(x+n)\,dx=\int_a^\infty f(x)\,dx<\infty.$$Per il teorema della convergenza monotona,$\sum_{n=1}^\infty f(x+n)$converge quasi ovunque su$[a,a+1]$.

Per la prima domanda. considerare un intervallo$I=[a,b]$, non contenente zero. Quindi$$\sum_{n=1}^\infty\int_{a}^{b}f(nx)\,dx =\sum_{n=1}^\infty\frac1n\int_{na}^{nb}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty u(x)f(x)\,dx$$dove$$u(x)=\sum_{x/b\le n\le x/a}\frac1n.$$Approssimare$u(x)$dalla serie armonica,$$u(x)=\log(x/a)-\log(x/b)+O(1)=\log(a/b)+O(1)$$quindi è limitato. Come prima, MCT lo dimostra$\sum_{n=1}^\infty f(nx)$converge quasi ovunque su$[a,b]$.