Set di Borel contro set di Baire

Aug 16 2020

(1) Supponiamo di avere uno spazio di Hausdorff compatto $X$con base numerabile. Perché l'algebra di Borel$\mathcal{B}(X)$ (il $\sigma$-field generato dagli insiemi aperti) e l'algebra di Baire $\mathcal{B}a(X)$ (il $\sigma$-campo generato dal compatto $G_\delta$imposta) uguale? Dove posso trovare una prova di ciò?

(2) Supponiamo ora che $X$ha una base innumerevole. In quel caso,$\mathcal{B}(X)$ e $\mathcal{B}a(X)$non coincidono più, e so che considerando i set Baire si evitano alcune patologie dei set Borel. Quali sono queste patologie? Inoltre, quale sarebbe un esempio di un set Borel che non è Baire?

Risposte

3 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 11:02

Per vedere nel primo caso che i gruppi Baire e Borel coincidono, è sufficiente notare che i gruppi elettrogeni per i gruppi Baire (compact $G_\delta$) sono sempre Borel (compatto implica chiuso negli spazi di Hausdorff) così che Baire $\subseteq$Borel facilmente. E se$O$ è aperto possiamo scriverlo come un'unione numerabile di compact $G_\delta$ set, quindi tutti i set aperti sono nel Baire $\sigma$-field, quindi anche tutti i set Borel lo sono. (Il secondo compatto di Hausdorff numerabile implica perfettamente normale ecc.)

Per vedere cosa potrebbe andare storto più in generale, controlla $X=\omega_1 + 1$che è compatto Hausdorff ma non secondo numerabile. Dentro,$\{\omega_1\}$ è chiuso (quindi Borel) ma non Baire (Halmos dimostra nella sua teoria della misura che un insieme compatto è Baire se è un $G_\delta$e questo singleton non lo è). La misura Dieudonné su$X$è una misura Borel che non è regolare, ma è regolare quando lavoriamo sui set Baire. Vedi il libro di Halmos, o il vasto lavoro di Fremlin sulla teoria della misura topologica. Prendere insiemi Baire ci dà insiemi più che sufficienti per fare cose di integrazione ecc. E fornisce misure migliori in termini di proprietà di regolarità.