Si possono caratterizzare le anticatene massime in termini di reticoli distributivi?
Questo è ispirato dalla recente domanda Verifica di un anticatena massimale
La celebre dualità tra poset finiti e reticoli distributivi finiti ha diverse belle formulazioni. Uno di loro assegna a un poset$P$ il reticolo $\mathscr D\!P$dei suoi svantaggi (mi piace questa parola inventata, credo, da Freyd). Un downdeal di$P$ un sottoinsieme $D\subseteq P$ soddisfacente $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Questo è un reticolo distributivo (limitato) rispetto alle operazioni di unione e intersezione. Al contrario di un reticolo distributivo finito$L$ si assegna il poset $\Pi\!L$dei suoi numeri primi . Un elemento$p\in L$ è primo se $x\land y=p$ implica $x=p$ o $y=p$e i numeri primi sono ordinati per divisibilità: $p\leqslant q$ iff $p$ divide $q$, indicato $p|q$ cioè $\exists x\ q=p\land x$o, in modo equivalente, solo $p\land q=q$. Sembra una complicanza in quanto inverte l'ordine da cui è stato ereditato$L$, ma è solo una questione di comodità: puoi sempre passare a tutti i tipi di definizioni equivalenti, come invertire l'ordine in $P$ o in $L$, sostituendo i numeri primi con numeri primi di unione, o passando a complementi di downdeal, che sono updeal , o entrambi, ecc., ecc.
La dualità dice due cose. Primo, che ogni$L$ può essere identificato con il reticolo dei downdeal dei suoi numeri primi, cioè un elemento $x\in L$ è determinato in modo univoco dai suoi primi divisori, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; in altre parole, ogni$x$è l'incontro dei suoi primi divisori. Inoltre, ogni downdeal$D$ di $\Pi\!L$ è $D_x$ per un unico $x\in L$, vale a dire, per $x=\bigwedge D$.
In secondo luogo, la dualità dice che ogni poset $P$ può essere identificato con il poset dei numeri primi di $\mathscr D\!P$. Vale a dire,$p\in P$ si identifica con $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ e ogni primo di $\mathscr D\!P$ è $\not\uparrow p$ per un unico $p\in P$. inoltre$p\leqslant q$ iff $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.
Ora per un poset finito $P$, i suoi downdeal sono in corrispondenza uno a uno con le sue anticatene: a un downdeal $D$ si assegna l'anticatena $\max\!D$ dei suoi elementi massimi e ad un anticatena $\alpha\subseteq P$ il downdeal $\downarrow\!\alpha$ degli elementi sottostanti $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.
La mia domanda è: si possono caratterizzare astrattamente, algebricamente, senza fare appello a questa dualità, quegli elementi di un reticolo distributivo finito $L$che corrispondono alle massime anticatene del suo doppio poset?
Più esplicitamente (spero di non aver commesso errori nel tradurlo): esiste una caratterizzazione puramente algebrica, senza menzionare i numeri primi, di quelli $a\in L$ con la proprietà che per ogni primo $p\notin D_a$ c'è un primo $p'\in\max D_a$ con $p'|p$?
Per questa domanda stimolante dobbiamo in realtà considerare solo reticoli distributivi finiti liberi , il che significa considerare solo i poset$P$che sono gruppi di potenza completi di qualche insieme finito, ordinati per inclusione. Non si sa molto sulla cardinalità dell'insieme di tutte le anticatene massime in un powerset. Secondo OEIS , la sequenza di questi inizia come$1,2,3,7,29,376,31764,...$
La domanda Mappa sulla classe di tutti i poset finiti provenienti da anticatene di massima dimensione sembra essere strettamente correlata, ma quella riguarda anticatene di massima dimensione possibile, mentre la mia riguarda tutte le anticatene massime, cioè anticatene non contenute in nessun altro anticatena. Chiaramente tali anticatene possono avere varie dimensioni in generale, in particolare nei gruppi di potenza. Ad esempio, entrambi i due elementi anticatena$\{\{1\},\{2\}\}$ e l'unico elemento anticatena $\{\{1,2\}\}$ sono le anticatene massime nel gruppo di potenza di $\{1,2\}$.
Risposte
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Richard Stanley spiega in un commento che le anticatene massime $A$ di $P$ sono in corrispondenza uno a uno con intervalli booleani massimi di $\mathscr D\!P$.
In generale, dato $D'\subseteq D$ con $D,D'\in\mathscr D\!P$, è facile vedere che l'intervallo $[D',D]$ è reticolo isomorfo a $\mathscr D(D\setminus D')$, dove $D\setminus D'$ è il sottoinsieme di $P$con l'ordine parziale indotto. Così$[D',D]$ è booleano se e solo se $D\setminus D'$ è un anticatena.
Al contrario, qualsiasi anticatena $A\subseteq P$ dà origine a tale intervallo booleano, con $D=\downarrow\!A$ e $D'=D\setminus A$. E (chiaramente?) Le anticatene massime corrispondono agli intervalli booleani massimi.
Ora c'è una costruzione, che ho visto per la prima volta eseguita da Harold Simmons. Per un elemento$a$ in qualsiasi algebra di Heyting completa, lascia $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Poi $[a,\tau a]$ è il più grande intervallo booleano con il fondo $a$.
Chiaramente in un'algebra di co-Heyting completa c'è un operatore dualmente definito $\delta$ tale che $[\delta b,b]$ è il più grande intervallo booleano con top $b$.
Esempio. Nel reticolo di insiemi chiusi di uno spazio topologico,$\delta$è il derivato di Cantor-Bendixson. Cioè, per un set chiuso$C$, $\delta C$ è l'insieme dei suoi punti limite.
Quindi, se siamo in un'algebra bi-Heyting completa, sono disponibili entrambi gli operatori e un intervallo $[a,b]$ è booleano massimo se e solo se $a=\delta b$ e $b=\tau a$.
Questo quindi apparentemente implica che entrambi gli elementi $a$ soddisfacente $\delta\tau a=a$ ed elementi $b$ soddisfacente $\tau\delta b=b$dovrebbe in qualche modo corrispondere alle anticatene massime. Nello specifico, nel caso in cui la nostra algebra lo sia$\mathscr D\!P$ per qualche poset $P$, poi $\tau\delta D=D$ per $D\in\mathscr D\!P$ dovrebbe significare questo $\max D$ è un anticatena massimo, mentre $\delta\tau D=D$ dovrebbe significare questo $\min(P\setminus D)$ è un anticatena massimo.