soluzione generale agli integrali finiti della forma $\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$?
Recentemente stavo lavorando con sfere dimensionali superiori e ho trovato il valore di questo integrale: $$\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx.$$
Anche se in un certo senso lavoravo all'indietro. L'ho reso integrante da un rapporto che sono già riuscito a stabilire. Mi chiedevo se è possibile trovare il valore di questo integrale utilizzando qualsiasi metodo di integrazione, poiché se ti fosse stato dato questo integrale saresti in grado di trovarne il valore. Ho provato alcuni calcolatori integrali online, che non hanno dato alcun risultato. Ho provato a farlo da solo e non ho trovato nulla, tuttavia, l'integrazione non è proprio la mia area.
Risposte
Mi chiedevo se sia possibile trovare il valore di questo integrale
Se stai cercando una risposta, ce l'ho, (da Mathematica)
Espressione condizionale Significava semplicemente che sono coinvolte condizioni extra e che è stata menzionata.
L'approccio più semplice sarebbe utilizzare l' integrazione per parti , che viene utilizzata anche per derivare il prodotto Wallis per integrali simili.
Permettere $I(b) = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$, $v'=1$ e $u=(a-x^2)^b$, poi $\frac{du}{dx}=-2bx(a-x^2)^{b-1}$. $I(0)=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} dx=2\sqrt{a}$.
$$I(b) = [x(a-x^2)^b]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} x(-2bx)(a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2b\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b + 2ab\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2bI(b) + 2abI(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}I(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}.\frac{2a(b-1)}{2b-1}...\frac{2a(2)}{2(2)+1}\frac{2a(1)}{2(1)+1} I(0)$$
La sostituzione $$x = \sqrt{a}(2u-1), \quad dx = 2 \sqrt{a} \, du,$$ risultati nell'integrale $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \int_{u=0}^1 u^b (1-u)^b \, du.$$Questo è proporzionale a un integrale beta , il cui valore è$$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{\Gamma(b+1)^2}{\Gamma(2b+2)}.$$ quando $b \in \mathbb Z^+$, questo è esprimibile nei fattoriali come $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{(b!)^2}{(2b+1)!} = \frac{(2 \sqrt{a})^{2b+1}}{(b+1) \binom{2b+1}{b}}.$$
Se ti piacciono le funzioni ipergeometriche, supponendo $a>0$ e $b>0$ $$\int (a-x^2)^b\, dx=a^b\,x\,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{x^2}{a}\right)$$ $$\int_{-t}^t (a-x^2)^b\, dx=2 a^b\,t \, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{t^2}{a}\right)$$ Se $t=\sqrt a$, questo porta al risultato già fornito nelle risposte.