Somma di divisori e divisori unitari come autovalore e norma spettrale di qualche matrice di addizione?
Permettere $n$ essere un numero naturale e $D_n$essere l'insieme dei divisori. Possiamo rendere questo insieme un anello osservando che ogni divisore$d$ ha
$$0 \le v_p(d) \le v_p(n)$$
Quindi possiamo aggiungere due divisori $d,e$ IMPOSTANDO:
$$d \oplus e := \prod_{p | n} p^{v_p(d)+v_p(e) \mod (v_p(n)+1)}$$
e analogamente possiamo moltiplicarli impostando: $$d \otimes e := \prod_{p | n} p^{v_p(d) \cdot v_p(e) \mod (v_p(n)+1)}$$
Allora, se $n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$, questo anello sarà isomorfo all'anello
$$\mathbb{Z}/(a_1+1) \times \cdots \times \mathbb{Z}/(a_r+1)$$
Se $n$ è squarefree, che si riduce a:
$$d\oplus e = \frac{de}{\gcd(d,e)^2}$$
$$d\otimes e = \gcd(d,e)$$
e l'anello dei divisori è un anello booleano come definito qui Anello booleano dei divisori unitari / Struttura dei divisori unitari? e quihttps://math.stackexchange.com/questions/3799607/does-this-characteristic-polynomial-factor-into-linear-factors-over-the-integers/3799759
Se consideriamo la tabella delle addizioni ($\oplus$) di questo anello come matrice, quindi è chiaro che la somma dei divisori $\sigma(n)$ è un autovalore per l'autovettore:
$$(1,\cdots,1)$$
Ecco come esempio l'aggiunta ($\oplus$) tavolo per $n=12$:
$$\left(\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ 2 & 4 & 6 & 1 & 12 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 12 & 2 & 4 \\ 4 & 1 & 12 & 2 & 3 & 6 \\ 6 & 12 & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 12 & 3 & 4 & 6 & 1 & 2 \end{array}\right) $$
Ho controllato numericamente ($n=1,\cdots,60$) quello
$$\sigma(n) = |A_n^k|_2^{1/k}, \forall k \ge 1$$
dove $A_n$ è la matrice di addizione di questo anello.
- C'è una prova per quest'ultima uguaglianza (dove $|.|_2$denota la norma spettrale)? (Questa domanda è dimostrata qui:https://math.stackexchange.com/questions/3800389/ring-of-divisors-of-a-natural-number-and-the-sum-of-divisors-as-an-eigenvalue-an )
Allo stesso modo possiamo creare il set $U_n$ di divisori unitari in un anello booleano impostando:
$$a\oplus b = \frac{ab}{\gcd(a,b)^2}$$
$$a \otimes b = \gcd(a,b)$$
Ho verificato numericamente in modo simile a quanto sopra ($\sigma^*(n) = $ somma dei divisori unitari):
$$\sigma^*(n) = |B_n^k|_2^{1/k}, \forall k \ge 1$$
dove $B_n$ è la matrice di addizione di $U_n$.
- Può essere provato?
Ad ogni autovalore $\lambda$ con autovettore $v_{\lambda}$ di $B_n$ possiamo associare un "gruppo stabilizzatore" $V_{\lambda} \le U_n$:
$$V_{\lambda} = \{u \in U_n| \left < (u\oplus u_1,\cdots,u \oplus u_r)^T ,v_{\lambda}\right >=\lambda \}$$
Quindi sembra che:
$$\lambda = \sum_{v \in V_{\lambda}} v - \sum_{u \in V_{\lambda}^C} u$$
È $V_n$ un sottogruppo di $U_n$?
È $\lambda$ uguale al lato destro dell'ultima uguaglianza?
Grazie per l'aiuto!
Domande correlate:
https://math.stackexchange.com/questions/3800389/ring-of-divisors-of-a-natural-number-and-the-sum-of-divisors-as-an-eigenvalue-an
Anello booleano di divisori unitari / Struttura dei divisori unitari?
https://math.stackexchange.com/questions/3799607/does-this-characteristic-polynomial-factor-into-linear-factors-over-the-integers/3799759
Risposte
In entrambi i casi stai usando solo la struttura additiva dei tuoi anelli, quindi questa è davvero una domanda sui gruppi abeliani .
Supponendo $n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$, durante gli studi $A_n$ stiamo lavorando con il gruppo abeliano $$G=\mathbb{Z}/(a_1+1)\mathbb Z \times \cdots \times \mathbb{Z}/(a_r+1)\mathbb Z.$$ Possiamo pensare agli elementi di $G$ come tuple $s=(s_1,\dots,s_r)$ dove $s_i\in \mathbb Z/(a_i+1)\mathbb Z$. Qui$A_n$ coincide con la matrice del gruppo $(x_{s+t})_{s,t\in G}$ dove $x_{(s_1,s_2,\dots,s_r)}$ è impostato uguale al divisore positivo univoco di $n$ che soddisfa $\nu_{p_i}(x)=s_i\pmod{a_i+1}$ per tutti $1\le i\le r$.
Adesso, $A_n$ è una matrice simmetrica quindi in realtà stiamo solo cercando di dimostrare che il raggio spettrale è $\sigma(n)=\sum_{s\in G}x_s$. La buona notizia è che possiamo dire molto di più: possiamo scrivere tutti gli autovalori di questa matrice.
Definiamo i vettori $\mathbf v(\chi)$ indicizzato da caratteri irriducibili di $G$, da fornire $\mathbf v(\chi)_{s}=\chi(s)$. Quindi possiamo verificare che quanto segue sia valido$$A_n\mathbf v(\chi)=\left(\sum_{s\in G}\chi(s)x_s\right)\mathbf v(\bar{\chi}).\tag{*}$$ Se lasciamo $\lambda_{\chi}=\sum_{s\in G}\chi(s)x_s$, quindi gli autovalori di $A_n$ sono uguali a $\lambda_{\chi}$ per alcuni $\chi$ che è uguale al proprio coniugato, o uguale a $\pm \sqrt{\lambda_{\chi}\lambda_{\bar{\chi}}}$ per alcuni $\chi$ che non è uguale al proprio coniugato.
Per provare questo fatto, notalo $(*)$ ci dice che quando $\chi =\bar{\chi}$ noi abbiamo $\mathbf v(\chi)$ come un autovettore con autovalore $\lambda_{\chi}$, e quando $\chi\neq \bar{\chi}$ Lo vediamo $A_n$ funge da $$\begin{pmatrix}0 & \lambda_{\chi}\\ \lambda_{\bar{\chi}} & 0\end{pmatrix}$$ nell'arco di $\{\mathbf v(\chi),\mathbf v(\bar{\chi})\}$.
Infine resta da notare che dal momento che tutti $\chi(s)$ sono radici di unità, il più grande autovalore è $\sum_{s\in G}x_s$ corrispondente al carattere banale.
Per $B_n$ puoi ripetere un argomento simile ma per il gruppo $$G=(\mathbb Z/2\mathbb Z)^r$$ con matrice di gruppo $(x_{s+t})_{s,t\in G}$ e $x_{(s_1,\dots,s_r)}$ scelto per essere l'unico divisore positivo di $n$ che soddisfa $$\nu_{p_i}(x)=\begin{cases} 0 & \text{if } s_i=0\\ a_i & \text{otherwise}, \end{cases}.$$ Questo dà anche risposte positive alle tue ultime due domande perché ogni carattere di $G$ in questo caso lo è $\pm 1$ valorizzato e gli elementi in cui si trova il valore $+1$ formare un sottogruppo.
Se vuoi leggere di più su questo tipo di risultati puoi consultare le note di K. Konrad L'origine della teoria della rappresentazione che si concentra sulla relativa matrice$(x_{s-t})_{s,t\in G}$e come la comprensione del suo determinante / spettro per i gruppi (prima abeliani e poi generali) abbia iniziato lo studio della teoria della rappresentazione.