Sono sottospazi lineari di dimensione$d$che escludono una varietà di dimensioni$n-d-1$un sottoinsieme aperto del Grassmanniano?

Question

Supponiamo che ci stia lavorando$\mathbb{P}^n$e ho una varietà algebrica irriducibile$X$di dimensione$n-d-1$. Nel Grassmanniano della dimensione$d$, posso sempre trovare un insieme aperto$U$tale che nessuno dei sottospazi in$U$intersecare$X$?

Questo sembra essere esattamente ciò che questo commento sta dicendo. Ma non posso provarlo.

Sembra che io possa giocherellare con le proiezioni e mostrare che ci sono insiemi aperti che contengono o non contengono sottospazi specifici (rappresentando un sottospazio$V$da una proiezione$P_V$su quel sottospazio, e considerando il luogo di fuga di$P_VPP_V=P$o$PP_VP=P_V$, dove$P$è la proiezione sul sottospazio nel Grassmanniano). Ma questo non sembra aiutare a meno che io non possa costringere$X$a uno specifico sottospazio, che sembra essere generalmente impossibile.

Answer 1

La soluzione che mi piace di più procede attraverso la corrispondenza di incidenza. In breve, lascia$$\Sigma = \{ (L,p)\subset G(k,n)\times \Bbb P^n \mid p\in L\}$$essere la sottovarietà di$G(k,n)\times\Bbb P^n$che ti dice quando un punto$p$è in un$k$-aereo$L$(questa è chiamata la corrispondenza di incidenza). Questo è un sottoinsieme chiuso di$G(k,n)\times \Bbb P^n$(vedi qui per esempio), e quindi è intersezione con$G(n,k)\times X$è chiuso. Dalla proiezione$\Bbb P^n_k\to\operatorname{Spec} k$è universalmente chiuso, la mappa$\pi:G(k,n)\times\Bbb P^n\to G(k,n)$è chiuso, quindi$\pi(\Sigma\cap G(k,n)\times X)$è un sottoinsieme chiuso di$G(k,n)$. Ora tutto ciò che devi fare è mostrare che questo è un sottoinsieme chiuso appropriato, cosa che puoi fare dimostrandone uno$k$-aereo evitando$X$.