Sottogruppi massimi di ${\rm PSL}(2,8)$ [duplicare]

Question

Sto leggendo una nota sulla struttura dei sottogruppi dei sottogruppi classici. Secondo il Corollario 2.2 (d), da allora$8=2^3$ è una potenza primaria di numero pari $2$, ${\rm PSL}(2,8)$ ha un sottogruppo massimo ${\rm PSL}(2,2)=S_3$. Ma${\rm PSL}(2,8)$ ha esattamente $3$classi di coniugazione di sottogruppi massimi. I tre sottogruppi massimi non coniugati di${\rm PSL}(2,8)$ siamo $C_9\rtimes C_2$, $C_7\rtimes C_2$ e $C_2^3\rtimes C_7$, nessuno dei quali lo è $S_3$.

Credo di aver frainteso qualcosa durante la lettura del riferimento, ma non so cosa sia. Potresti darmi un aiuto? Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

Answer 1

L'elenco a cui fai riferimento non è corretto. Per$q_0=2$, il sottogruppo $\mathrm{PSL}_2(q_0)$ non è un sottogruppo massimo di $\mathrm{PSL}_2(q)$, dove $q=q_0^r$ per $r$un primo. In questo caso il sottogruppo è contenuto nel sottogruppo$D_{2(q+1)}$ o $D_{2(q-1)}$, a seconda di quale sia divisibile per $3$.