Su una certa espansione in termini di funzioni Schur

Question

Questa domanda è correlata a quest'altra

Una congettura di positività di Schur relativa alle permutazioni di riga e colonna

di Richard Stanley (grazie a Sam Hopkins per avermelo informato).

Considera un sottogruppo Young $S_{\lambda}$ del gruppo simmetrico $S_n$, corrispondente a una partizione intera $\lambda$ di $n$. Permettere$\tau$ essere una permutazione e definire la funzione simmetrica

$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ dove $p_{\mu}$ è la solita funzione simmetrica somma di potenza e $c(\rho)$ denota la partizione intera data dal tipo di ciclo della permutazione $\rho$.

D: Ciò che si sa sull'espansione della funzione di Schur di$F(\tau)$, data la classe a doppio coset di $\tau$ per il sottogruppo Young?

Answer 1

Un fatto è questo $F(\tau)$ Schur è positivo se e solo se $\tau\in S_\lambda$. Più in generale, se$K$ è qualsiasi coset (sinistro o destro) di qualsiasi sottogruppo $G$ di $S_n$, poi $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ Schur è positivo se e solo se $K=G$. L'unica prova nota per la parte "se" richiede la teoria della rappresentazione; vedi Enumerative Combinatorics , vol. 2, pagina 396. Per la parte "solo se", è facile vedere che è una combinazione lineare diversa da zero$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ delle somme di potere è Schur positivo, quindi $a_{1^n}>0$.