Sugli interi algebrici.

Question

Ho domande sugli interi algebrici. $z$ è un numero complesso e $n$ è un numero naturale, tale che, $z^n=\pm 1$. Così,$z-1/z$ è un numero intero algebrico.

I. Se $r$ è un numero razionale, è $(z-1/z)^{r}$ancora un intero algebrico?
O più generale, se$a$è un alg. int. poi$a^r$è anche alg. int.?

II. Se$a-1/a$è un'alga. int., è$a$un alg. int.?

Grazie

Modificare. Ho letto alcune prove trascendentali più semplici e mi sono imbattuto in alcune affermazioni simili. Ma avevo solo queste domande, per questo motivo non riesco a trovare le risposte così facilmente online.

Answer 1

I. Sì se $r$è positivo. Non necessariamente se$r$è negativo. Se$a_1,\ldots,a_{n-1}$ sono numeri interi algebrici, quindi qualsiasi radice di $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0$è anche un numero intero algebrico. Scrittura$r=p/q$ con $p$ e $q$ interi (positivi), è chiaro che $(z-1/z)^p$ è un numero intero algebrico e $(z-1/z)^r$ è una radice di $x^q - (z-1/z)^p$, quindi un intero algebrico stesso. Se$r$ è negativo, la risposta potrebbe essere negativa: ad es. $z=i$, $z-(1/z) = i-(-i) = 2i$e prendendo $r=-1$ rendimenti $(2i)^{-1} = -\frac{i}{2}$, che non è un numero intero algebrico.

II. Come ha notato mr_e_man, if$a-(1/a)$ è un numero intero algebrico, quindi $a$ è una radice di $x^2 - (a-1/a)x -1$ che è un polinomio monico con coefficienti interi algebrici, quindi $a$ è un numero intero algebrico.

In entrambi i casi, la chiave è

Teorema. Se$f(x)$è un polinomio monico con coefficienti interi algebrici , e$a$ è una radice di $f$, poi $a$ è un numero intero algebrico.

Quindi questo è il teorema che vuoi dimostrare.