Sulle simmetrie piane di Fano
Ho cercato realizzazioni d'ordine $21$gruppo metaciclico. Ho chiesto ieri di questo e ho appreso alcune ottime informazioni al riguardo Realizzazione del gruppo metaciclico di ordine 21
Stavo anche sperimentando con l'aereo di Fano e ho scoperto per caso qualcosa che non so spiegare. Ho numerato i codici binari e considerato le permutazioni che li attraversano in ordine e le permutazioni che ruotano i bit:
001, 010, 011, 100, 101, 110, and 111
1 2 3 4 5 6 7
gap> StructureDescription(Group((1,2,3,4,5,6,7), (1,2,4)(3,6,5)));
"C7 : C3"
Questo è il gruppo metaciclico. Ma poi ho guardato l'aereo di Fano e ho visto che il ciclo doveva essere$(7,6,4,3,5,1,2)$. Questo ciclo produce$\text{PSL}(3,2)$. Ho anche scoperto che il ciclo$(7,6,4,3,5,1,2)$ produce $A7$. Quindi ero molto confuso perché la prima cosa che ho provato ha prodotto il gruppo che mi interessava, ma quando guardo ora l'aereo di Fano questo$7$-il ciclo sembra privo di significato / casuale.
Qual è il significato geometrico di questo $7$-ciclo permutazione in termini di piano fano?
Risposte
Qual è il significato geometrico di questa permutazione a 7 cicli in termini di piano fano?
Il piano di Fano è il piano proiettivo $\mathbb{P}(\mathbb{F}_2^3)$. I sottospazi 1D di$\mathbb{F}_2^3$ (quindi, vettori diversi da zero, perché $\mathbb{F}_2$) sono rappresentati da "punti" e dai sottospazi 2D di $\mathbb{F}_2^3$, ciascuna contenente tre sottospazi 1D, sono "linee" proiettive. Chiaramente$\mathbb{F}_2^3$ e quindi l'aereo di Fano ha $3$-fold simmetria; la seguente illustrazione tipica rende il$S_3$ simmetria evidente:
Ci sono però alcuni aspetti dell'aereo di Fano che questa immagine oscura. In particolare, mentre si intendono le linee proiettive$3$-cicli in questo grafico sopra, la maggior parte di questi $3$-le motociclette hanno un bordo nascosto! Tutte le linee rette sono intese come "avvolgenti" per essere interpretate come una sorta di cerchi. Di conseguenza, il nodo centrale si distingue da tutto il resto, e questo rompe la simmetria dell'attuale piano di Fano, in cui tutti i punti e tutte le linee sono indistinguibili (cioè il gruppo di simmetria agisce transitivamente su di essi).
Il gruppo di simmetria $G$ dell'aereo di Fano ha dimensioni
$$ |\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)|=(2^3-1)(2^3-2)(2^3-2^2)=7\cdot24=168. $$
A parte: questo indica anche che dovrebbe esserci una sorta di $4$- o $8$-piega simmetria al piano di Fano che dovrebbe essere in qualche modo raffigurabile. Infatti, se prendiamo i punti medi del bordo esterno della raffigurazione sopra e li tiriamo fuori un po ', possiamo vedere un esagono, e da lì se li estraiamo dalla pagina (o dallo schermo) otteniamo un antiprisma triangolare, cioè un ottaedro, ma con un punto centrale collegato tramite bordi agli altri sei vertici.
Questi "assi" attraverso il centro sono intesi come "avvolgenti" proprio come facevano le linee interne della rappresentazione precedente. Inoltre, se facciamo una scacchiera sulle facce (cioè dipingiamo con due colori in modo che le facce adiacenti siano di colori diversi), anche i triangoli corrispondenti delle facce del primo colore sono linee proiettive. Il gruppo di simmetria di questo ottaedro a scacchiera, e quindi un sottogruppo di simmetria del piano di Fano, è$S_4$. In un certo senso, questo fa "meglio" della solita rappresentazione dell'aereo di Fano perché include chiaramente il primo$S_3$ sottogruppo di simmetria (come rotazioni attorno a una faccia più alcuni riflessi; stabilizza una coppia di facce opposta).
Per vedere questo, considera prima il gruppo di simmetria completo di un ottaedro. Il gruppo di simmetria rotazionale è$S_4$, come il cubo (ottimo esercizio), più il riflesso improprio centrale $-I_3$ porta ad essere il gruppo di simmetria ottaedrica $S_4\times\mathbb{Z}_2$. Per ispezione, solo le permutazioni pari (delle quattro diagonali spaziali attraverso i punti medi delle facce antipodali) sono possibili con rotazioni che conservano la scacchiera, e solo le riflessioni piane corrette preservano il picchiettio della scacchiera, quindi il gruppo di simmetria è$(A_4\times\{I_3\})\sqcup(S_4\setminus A_4\times\{-I_3\})$ che è una copia isomorfa di $S_4$ (che è stato "distorto" dall'ovvia copia in $S_4\times\mathbb{Z}_2$).
In effetti, questo $S_4$ è lo stabilizzatore di $111$, il nodo centrale, perché è indice $7$o vedi
$$ \mathrm{Stab}(111)\cong\mathrm{Aff}_2(\mathbb{F}_2)\cong\mathbb{F}_2^2\rtimes\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)\cong V_4\rtimes S_3 \cong S_4. $$
Sopra, usiamo: (a) il solito modo di mettere un gruppo affine in un gruppo lineare generale di una dimensione superiore (come matrici a blocchi con l'ultima riga o colonna un vettore di coordinate di base standard), (b) l'isomorfismo eccezionale $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$, e (c) il fatto eccezionale (tra i gruppi simmetrici) che $S_4$ è un prodotto semidiretto.
Secondo il teorema di Cauchy, $G$ deve avere un elemento di ordine $7$, che deve essere un file $7$-ciclo (poiché agisce in modo non banale su un insieme di dimensioni $7$), quindi deve avere anche l'aereo di Fano $7$-piegare la simmetria in qualche modo.
Per vedere come (visivamente) faremo uso dell'eccezionale isomorfismo
$$ \mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)\cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7). $$
Ci sono molti argomenti che dimostrano questo, alcuni sono elementari, ma nessuno lo trovo soddisfacente "naturale" e "a priori", purtroppo. In ogni caso, possiamo verificare la corrispondenza delle sue dimensioni:
$$ |\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)|=\frac{(7^2-1)(7^2-7)}{2(7-1)}=168. $$
Ricostruiremo l'aereo di Fano, con $7$-fold simmetria, osservando come può essere costruita $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$ e trasferire i dettagli a $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$.
Notare che cicla le coordinate di $\mathbb{F}_2^3$ ha il tipo di ciclo $(\cdot\cdot\cdot)(\cdot\cdot\cdot)$ sull'aereo di Fano (fissaggio $111$, con orbite $100,010,001$ e $110,101,011$). (O, equivalentemente,$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$'S $3$-il ciclo agente sul piano di Fano ha due orbite corrispondenti all'ultima coordinata $0$ o $1$. In questo caso, il punto fisso è$001$ invece di $111$.) Uno di questi ha un'orbita che è una linea proiettiva, poiché ruotando l'illustrazione tipica del piano di Fano è una simmetria proiettiva e il cerchio (effettivo) in essa è una linea proiettiva. (Questa linea proiettiva è composta dai cicli di$110$.) Tutti $3$-cicli sono coniugati in $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$(dalla teoria di Sylow) quindi questo vale per tutti loro. Se applichiamo un non banale$7$-ciclo su una linea proiettiva, dobbiamo ottenere tutto $7$ linee proiettive.
Quindi, possiamo costruire il piano di Fano semplicemente usando questo gruppo metaciclico $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$in corso $\mathbb{Z}_7$ (Nota $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ è un sottogruppo dell'olomorfo $\mathrm{Hol}(\mathbb{Z}_7)$, che è il "gruppo affine" $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)$, così $\mathbb{Z}_7$ agisce su se stesso regolarmente e $\mathbb{Z}_3$ agisce su $\mathbb{Z}_7$da automorfismi di gruppo). Questo può essere fatto all'interno$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ per elaborare uno schema di etichettatura.
Il gruppo $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ agendo sulla linea proiettiva $\mathbb{F}_7\mathbb{P}^1=\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$ di Mobius transformations ha un sottogruppo stabilizzatore $\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ agendo per funzioni affini di $\mathbb{F}_7$ della forma $f(x)=a^2x+b$ ($a\ne0$) corrispondenti alle matrici $\pm[\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1}\end{smallmatrix}]$ nel $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, che è un po 'come essere $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)\cong\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_6$ ma non proprio (nota anche $G$ non ha ordine $6$ elemento).
Perché $2^3\equiv1$ mod $7$, la mappa $x\mapsto 2x$ ha ordine $3$. Una delle sue orbite non banali è$\{1,2,4\}$, che dichiareremo essere una linea proiettiva. Dovrebbe esserci$7$ linee proiettive, e il gruppo di simmetria dovrebbe agire su di esse in modo transitivo, quindi dovremmo ottenere tutte le nuove linee proiettive nel nostro nuovo modello traducendo $\{1,2,4\}$. È sufficiente tradurre la linea proiettiva utilizzando il$7$-ciclo $x\mapsto x+1$, una funzione affine. Quindi, i nostri punti sono$\{1,2,\cdots,7\}$ e le nostre linee lo sono $\{a+1,a+2,a+4\}$.
[A partire dalle trasformazioni di Mobius (che è come $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ agisce su $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$, i cui elementi rappresentano i punti della retta proiettiva $\mathbb{P}(\mathbb{F}_7^2)$) preservare il rapporto incrociato, possiamo osservare che queste linee proiettive (nel nostro nuovo modello di aereo di Fano) sono quelle triple con un rapporto incrociato specificato. Solo una parte.]
Questo ci dà la seguente immagine dell'aereo di Fano:
Ogni triangolo colorato è una linea proiettiva. Questo è il grafico completo$K_7$, quindi non ci sono bordi "mancanti" o "nascosti" in questo modello, a differenza dell'altro modello. (I triangoli sono orientati per descrivere una tabella di moltiplicazione di ottoni.)
Possiamo rimuovere esattamente un bordo da ogni triangolo per ottenere un'altra immagine, con "bordi nascosti" nelle linee proiettive, proprio come l'immagine originale, ma che nondimeno illustra il $7$-fold simmetria e non ha punti o linee distinti:
Alcuni pensieri. (a) Questa costruzione utilizzava solo il sottogruppo metaciclico$\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ di $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, non tutto. Quindi, (b) certamente non illustra il motivo$\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)=\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, e infatti (c) l'azione di $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ di su $\mathbb{F}_7$ non è chiaro per me - in particolare, non è più per trasformazioni di Mobius, poiché sono transitive su $8$- set di elementi $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$.
Il fatto che $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ agisce transitivamente su insiemi di entrambe le dimensioni $7$ e $8$ è sorprendentemente identico al fatto $\mathrm{Spin}(7)$ agisce irriducibilmente su entrambi $\mathbb{R}^7$ (tramite rotazioni) e $\mathbb{R}^8$(via ottonioni). Forse c'è una connessione più profonda da trovare rispondendo "qual è il file$\mathbb{F}_1$ versione di ottonioni? "