Superfici di Riemann ellittiche, paraboliche e iperboliche: classificazione?
Nel libro di Kra e Farkas sulle superfici di Riemann viene data la seguente definizione (leggermente insolita):
Definizione IV.3.2 ( Sezione IV.3 ). Permettere$M$essere una superficie di Riemann. Chiameremo$M$ ellittico se e solo se$M$è compatto. Chiameremo$M$ parabolico se e solo se$M$non è compatto e$M$non ha una funzione subarmonica non negativa. Chiameremo$M$ iperbolico se e solo se$M$porta una funzione subarmonica non costante negativa.
Domanda. Esiste un modo geometrico per caratterizzare le superfici paraboliche e iperboliche? Ad esempio, supponiamo$M$è una superficie di Riemann compatta e$x_1,\ldots, x_n$sono punti su di esso. È la superficie$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$parabolico?
Risposte
Questa è una terminologia alquanto insolita, ma è comune nella teoria della classificazione delle superfici di Riemann aperte. La notazione più standard è$P_G$per "parabolico", e$O_G$per "iperbolico".
La superficie$M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$è parabolico in questo senso, dal "teorema di singolarità rimovibile" (una funzione subarmonica che è delimitata dall'alto in un intorno punteggiato del punto si estende a una funzione subarmonica nell'intero intorno).
Ci sono alcuni criteri, in particolare, per le superfici della forma$M\backslash E$, dove$M$è compatto e$E$è un sottoinsieme chiuso. Ma questi criteri non sono molto geometrici: usano la capacità. Alcuni risultati possono essere forniti in termini di misure di Hausdorff$E$ma non sono "necessari e sufficienti".
I risultati classici possono essere trovati nei libri
M. Tsuji, Potential theory in modern function theory, Maruzen, Tokyo, 1959 (c'è una ristampa AMS).
Ahlfors, Sario, superfici di Riemann, Princeton UP, 1960.