Teorema dei residui per $ I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{\mathrm{i}\,t\,z}}{(z-z_1)(z-z_2)} \, \mathrm{d}z$
Se uso il teorema dei residui per valutare l'integrale
$$ I(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{\mathrm{i}\,t\,z}}{(z-z_1)(z-z_2)} \, \mathrm{d}z$$
con $t>0$, $\mathrm{Im}(z_1)>0$ e $\mathrm{Im}(z_2)<0$, Avrei pensato di ottenere
$$ I(t)=2\,\pi\,\mathrm{i}\,\frac{e^{\,\mathrm{i}\,t\,z_1}}{z_1-z_2}$$
poiché solo la pol nel semipiano superiore contribuisce all'integrale. Se risolvo l'integrale con Mathematica 12.0 restituisce
$$ I(t)=2\,\pi\,\mathrm{i}\,\frac{e^{\,\mathrm{i}\,t\,z_1}-e^{\,\mathrm{i}\,t\,z_2}}{z_1-z_2}$$
anche se ho impostato i presupposti corretti $z_1$ e $z_2$ e ha consentito la calculazione del valore principale di Cauchy.
Ora mi chiedo se ho frainteso il teorema dei residui o se Mathematica valuta l'integrale in modo errato.
Risposte
Hai ragione. Nota che se computi$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,\mathrm dz,\tag1$$con $t>0$, otterrete $\pi e^{-t}$. Ma$(1)$ è uguale a$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{(z-z_1)(z-z_2)}\,\mathrm dz,$$con $z_1=i$ e $z_2=-i$. La tua risposta sarà quindi$$2\pi i\frac{e^{-t}}{2i},$$che è corretto. Ma la risposta fornita da Mathematica 12.0 sarà allora$$2\pi i\frac{e^{-t}-e^t}{2i},$$che è sbagliato.