Teorema di Darboux

Aug 16 2020

Quello che ho imparato dice che il teorema di Darboux può essere usato per dimostrare che una funzione che non è continua può essere vera anche con il teorema del valore intermedio. È giusto? Ma perché non parliamo di questo argomento quando dimostriamo questo teorema? Non è così importante? Per favore rispondi..... ps mi dispiace di non essere bravo in inglese... e sono uno studente delle superiori in Corea. Puoi spiegare più facilmente di altri?

Risposte

2 4amvim Aug 16 2020 at 20:30

Considera qualsiasi funzione differenziabile$f(x)$.

Quindi, nel caso speciale dove$f(x)$è continuamente differenziabile, quindi ovviamente la derivata$f'(x)$è. continuo, e quindi, per il teorema del valore intermedio (IVT), raggiungerà tutti i valori compresi tra i suoi limiti. Per ribadire, in questo caso speciale in cui la nostra funzione è continuamente differenziabile , sì, il teorema di Darboux è semplicemente il solito IVT.

Ora, nel caso più generale, dove continuità di$f'(x)$non è garantito, non possiamo applicare il nostro solito IVT. Ma perché$f(x)$è differenziabile, possiamo ancora applicare il teorema di Darboux, che ci dà ciò che IVT avrebbe dato se fosse applicabile. La differenza ovviamente è che la dimostrazione di IVT non avrebbe funzionato poiché la sua ipotesi non era soddisfatta, ma la dimostrazione di Darboux funziona poiché ha requisiti diversi rispetto a IVT.

Infine, per riassumere, se hai una funzione e sai che è una derivata di qualche funzione, puoi avere il risultato di IVT anche se questa funzione non è essa stessa continua, grazie a Darboux. Ovviamente nel caso in cui la funzione sia continua, puoi usare direttamente IVT senza preoccuparti se questa funzione è una derivata di qualche funzione o meno.

PS Mi scuso per i licenziamenti, ma volevo assicurarmi di superare il divario linguistico.