Terminologia: rappresentazioni fluide di gruppi profiniti a livello locale.

Aug 17 2020

Permettere $G$ essere un gruppo profinito a livello locale.

Una rappresentazione fluida è una rappresentazione complessa ($V,\rho$) di $G$ tale che lo stabilizzatore di qualsiasi $v \in V$ è aperto.

Si può dimostrare che (come $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ è un gruppo di menzogne ​​e ha NSS), una rappresentazione (dimensionale finita) di $G$ è continuo se e solo se $\ker(\rho)$ è aperto.

Pertanto, nelle dimensioni finite, le rappresentazioni continue sono lisce.

Inoltre, come $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ e l'intersezione a destra può essere considerata finita per dimensione finita $V$, liscio implica anche continuo. Quindi questi sono equivalenti per dimensioni finite.

E le dimensioni infinite? Uno implica l'altro?

Qual è il motivo di questa terminologia? Chiedo solo perché sono condizionato a pensare che queste implicazioni debbano essere fluide implica continue, e non necessariamente il contrario!

Risposte

1 Peng Aug 21 2020 at 18:09

Suppongo che continuo qui significhi la mappa $P:G \times V \rightarrow V$è continua, data V la topologia discreta. Quindi liscio certamente implica continuo, letteralmente per definizione (controlla che l'immagine inversa di un singolo vettore sotto P sia aperta)

Ma non credo che l'altra parte abbia ragione perché dovrebbe dipendere dal gruppo.

paulgarrett Aug 21 2020 at 18:56

Già $G=\mathbb Z_p$ agendo su $L^2(\mathbb Z_p)$ per traduzione è continuo, ma è facile creare funzioni non costanti localmente in $L^2(\mathbb Z_p)$.

Inoltre, è fuorviante affermare che gli spazi repn uniformi "non hanno topologia" o "hanno la topologia discreta". Piuttosto, hanno la topologia colimit dall'essere espressa come unione ascendente dei loro sottospazi di dimensione finita. Sì, ogni mappa lineare da un tale spazio è continua ... motivo per cui osservazioni errate sulla topologia non portano direttamente al disastro. :)

Quindi, nel migliore dei casi, per ogni compatta aperta $K$ in $G$, il sottospazio $V^K$ di $K$-fissati vettori è finito-dimensionale, e $V=\bigcup V^K$. Non è così per$V=L^2(\mathbb Z_p)$, ma è corretto per$V$ il $K$-Vettori finiti. Cose così.