Torsione e sollecitazione di flessione calcolata dalla deflessione
Ho bisogno di aiuto per controllare un calcolo che ho fatto. Voglio sapere se è possibile utilizzare questo metodo o se sto usando un'ipotesi sbagliata. Lascia che ti spieghi il problema, una trave con lunghezza$l$è fissato a un'estremità. Una forza$F$ un momento $M_v$viene applicato all'estremità della trave, vedere la figura sotto. La trave ha una sezione trasversale circolare. A causa della forza, l'estremità della trave deformerà una lunghezza$\delta$. Si conosce solo la deflessione e i parametri geometrici, come la lunghezza e il diametro.
Usando la teoria del fascio di Eulero-Bernoulli, la deflessione può essere espressa come:
$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$
Dove $E$ è il modulo di Young del materiale e $I$ l'inerzia, che è $I=\frac{\pi d^4}{64}$per una sezione scross circolare. Qui$d$ è il diametro della trave.
Inserendo l'inerzia in (1) e riorganizzandola come espressione di $F$ dà:
$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$
Questo può essere inserito nella formula generale per la massima sollecitazione di flessione in una sezione trasversale
$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$
Qui la resistenza a flessione per una sezione trasversale circolare è già stata inserita nella formula e il momento flettente è stato sostituito per il momento massimo che è $Fl$.
Questa è la parte di cui non sono così sicuro, uso la forza da (2) e la inserisco in (3) per ottenere il massimo stress. Per favore fatemi sapere se questo è possibile o se sto commettendo un errore.
Inoltre, lo sforzo di taglio può essere calcolato da $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ dove $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$, che è la resistenza alla torsione nel materiale. Procedo quindi a utilizzare il criterio di snervamento di von Mises per ottenere una stima della sollecitazione massima nel materiale.
$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$
Come ho chiesto prima, sono principalmente interessato se questo è un modo possibile per procedere con la risoluzione del problema o se sto usando alcuni metodi / presupposti che sono sbagliati.
Risposte
In generale quello che stai facendo va bene. Supponendo che tu abbia flessioni abbastanza piccole (sia per flessione che per torsione), puoi risolvere i problemi in modo indipendente. Cioè:
- Calcola la forza necessaria per ottenere la flessione esattamente come l'hai eseguita. $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
- Calcola l'entità dello sforzo di taglio.
Avvertenze
Tuttavia, da quel momento in poi ci sono alcuni avvertimenti. Per quanto riguarda:
a) flessione : l'intensità massima della sollecitazione normale che stai calcolando è nella parte superiore e inferiore della trave. Qualsiasi punto sull'asse neutro dovrebbe avere una magnitudine zero.
b) taglio torsionale : l'entità alla distanza$\frac d 2$è costante ma la direzione cambia. vedi l'immagine seguente:
l'ampiezza della massima sollecitazione torsionale è correttamente:
$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$
c) Taglio : sebbene di solito scartato, è associato anche uno sforzo di taglio$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$. Normalmente è molto piccolo, ma ha anche una direzione costante (verso il basso in questa occasione).
Il punto che devi prendere è che devi aggiungere come vettori $\tau_s$ e $\tau_t$. Pertanto, in un punto diverso del materiale avresti valori diversi. Data l'immagine 1 e prendendo i punti A, B, C, D in senso antiorario, lo sforzo di taglio risultante sarà:
- nel punto più a destra (il punto A (+ x, y = 0) sarà $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$.
- nel punto più alto (il punto B (x = 0, + y) sarà $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
- nel punto più a sinistra (il punto C (-x, y = 0) sarà $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$.
- nel punto più in basso (il punto D (x = 0, + y) sarà $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
Massimo stress
Quindi la cosa principale riguarda la tua equazione dei Von Mises. Quali valori ti colleghi$\sigma$ e $\tau$.
Dovresti passare attraverso ogni punto e applicare lo stress corrispondente:
- Punto A, usa $\sigma_{A} = 0$ e $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
- Punto B (e D), usa $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ e $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
- Punto C, usa $\sigma_{A} = 0$ e $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$
Sfortunatamente, questi non sono gli unici punti che devi controllare. Ad esempio, dovresti controllare almeno su$\pm 135$ gradi (in quella quadratura nell'immagine $\tau_s $ e $\tau_t$non si cancellano a vicenda). Ma questa è l'idea.