Traccia le entropie

Question

Sto studiando le relazioni tra i funzionali di entropia in traccia e la combinatoria e mi trovo di fronte al seguente problema. Lascia$\mathcal {D}$essere il seguente operatore differenziale$1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$cioè$\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

Per$m\ge 0$intero, se$\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$poi$\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$e, (almeno formalmente) per una funzione$g$possiamo scrivere$g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$dove$$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

Sto cercando di capire che tipo di funzioni$g(x)$può soddisfare le seguenti condizioni su$(0;1]$

IO)$g(x) \ge 0$,$g(0)=0$. (Positività)

II)$\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (una specie di$\mathcal {D}$-concavità)

III)$\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$(questa è la concavità standard espressa con l'operatore$\mathcal {D}$

IV)$\exists \ 0< \varepsilon \le 1$tale che$g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V)$\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$tale che$$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

Se imponiamo solo le condizioni I),II) e III) ci sono molte funzioni che le soddisfano, ma

1. aggiungendo IV) non riesco a trovare nessuna funzione se non la seguente forma$g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$costante reale (qui$\varepsilon=1$). Notare che$g$non soddisfa V).

2. aggiungendo IV) e V) non riesco a trovare nessun'altra funzione tranne la traccia di entropia di Boltzman-Gibbs-Shannon:$-x\cdot \log(x)$

Io "temo" che la traccia entropica di Boltzman-Gibbs-Shannon sia l'unica funzione che soddisfa I)-V).

Grazie in anticipo per qualsiasi punto di vista.

Answer 1

Per ogni$c\in(0,\log2]$, la funzione$g$definito dalla formula$g(x)=cx$per$x\in[0,1]$soddisfa le tue condizioni I)–V), ma non è la traccia di entropia di Boltzman–Gibbs–Shannon.

---

Ci sono molte altre funzioni$g$soddisfacendo le tue condizioni I)–V) che non sono la traccia di entropia di Boltzman–Gibbs–Shannon. In particolare, per qualsiasi$c_1\in(0,\log2)$, qualsiasi funzione continua non negativa$H$Su$[0,1]$, e qualsiasi abbastanza piccolo reale$c_2\ge0$e$c_3\ge0$, la funzione$g$definito dalla formula$$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$per$x\in[0,1]$soddisfa le tue condizioni I)–V), ma non è la traccia di entropia di Boltzmann–Gibbs–Shannon.