Triangolo con l'area al massimo$\frac{7}{12}$.

Question

Supponiamo che ci siano$75$punti all'interno di un cubo unitario tale che tre punti non siano co-lineari. Dimostrare che è possibile scegliere tre punti tra quelli dati sopra che formano un triangolo con l'area al massimo$\frac{7}{12}$. Com'è possibile ottenere l'area del triangolo da questi dati dati? Per favore aiuto. Grazie in anticipo.

Answer 1

Dividi il cubo unitario in 27 cubi di dimensioni$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

Secondo il principio della casella, uno di questi cubi contiene 3 dei 75 punti. Dalla condizione data, questi punti non sono collineari. Quindi formano un triangolo

In un cubo di lato$a$, è l'area massima di un triangolo che può stare al suo interno$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Per lato$\frac{1}{3}$, questo è$\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Pertanto, questi tre punti formano un triangolo di area inferiore a$\frac{7}{12}$

Answer 2

Scegli i punti$(0,0,0)$e$(1,1,z)$e$(1,1,0)$. L'area di questo triangolo è$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Ora scegli$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Esistono infiniti modi per posizionare i restanti 72 punti, quindi dovrebbero esistere modi per fare in modo che nessun 3 punti sia non allineato.

I punti rimanenti possono ad esempio trovarsi nel piano$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$e formare una forma circolare.