Trova il valore massimo di$(1 + \sin x)(1 + \cos x)$.

Question

La domanda nel mio libro di testo era trovare il valore minimo della funzione, che era piuttosto semplice,$0$. Ma questo mi ha portato a pensare se potessimo trovare il suo raggio d'azione.

Ho provato di tutto, dall'AM-GM alla differenziazione, alla teoria dei numeri e alla pura intuizione.

La differenziazione non mi ha portato da nessuna parte. Usando AM GM e la teoria dei numeri, ci stavo arrivando$\left[0, \frac{3+2\sqrt{2}}{2}\right]$. Penso che questo potrebbe essere sbagliato, ma sto scrivendo la mia soluzione di teoria dei numeri qui:

Sappiamo se$a+b=c$, quindi valore massimo di$ab$è quando$a=b=c/2$. Quindi valore massimo di$ab= c^2/4$. Se diciamo$(1 + \sin x) = a$e$b=(1 + \cos x)$e$(1 + \sin x)+(1 + \cos x)=c$, quindi valore massimo di$ab$sarebbe$\frac{c^2}{4}$, conosciamo il valore massimo di$c$è$2 + \sqrt{2}$, quindi valore massimo di$\frac{c^2}{4}$sarebbe sulla semplificazione$\frac{3 + 2\sqrt{2}}2$.

L'avevo cercato molto su internet ma non sono riuscito a trovarlo, la mia soluzione mi sembra giusta ma non ne sono sicuro. Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

Answer 1

Permettere$y=(1+\sin x)(1+\cos x)=1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x$

Se$\sin x+\cos x=u, u^2=1+2\sin x\cos x\le2\implies u\le\sqrt2$

$y=1+u+\dfrac{u^2-1}2=\dfrac{u^2+2u+1}2=\dfrac{(u+1)^2}2$

Adesso$u+1\le\sqrt2+1$

Answer 2

$$(1+\sin x)(1+\cos x)=\frac12(\sin x+\cos x+1)^2=\left(\cos\left(x-\frac\pi4\right)+\frac1{\sqrt2}\right)^2$$

e gli estremi devono essere

$$0\text{ and }\left(1+\frac1{\sqrt 2}\right)^2.$$

Answer 3

Da AM-GM e CS si ottiene:$$(1+\sin{x})(1+\cos{x})\leq\left(\frac{1+\sin{x}+1+\cos{x}}{2}\right)^2\leq$$ $$\leq\left(\frac{2+\sqrt{(1+1)(\sin^2x+\cos^2x)}}{2}\right)^2=\left(1+\frac{1}{\sqrt2}\right)^2.$$L'uguaglianza si verifica per$x=45^{\circ},$che dice che abbiamo ottenuto un valore massimo.

Come hai detto, il valore minimo è$0$e poiché la nostra espressione è continua,

abbiamo un intervallo, che hai scritto.

La disuguaglianza$\sin{x}+\cos{x}\leq\sqrt2$possiamo provare usando AM-GM:$$\sin{x}+\cos{x}\leq|\sin{x}|+|\cos{x}|=\sqrt{1+2|\sin{x}|\cdot|\cos{x}|}\leq$$ $$\leq\sqrt{1+|\sin{x}|^2+|\cos{x}|^2}=\sqrt2.$$

Answer 4

$$\frac d{dx}(1+\sin x)(1+\cos x)$$

$$=\frac d{dx}[1+\cos x](1+\sin x)+\frac d{dx}[1+\sin x](1+\cos x)$$

$$=-\sin x(1+\sin x)+\cos x(1+\cos x)$$

$$=\cos^2x-\sin^2x+\cos x-\sin x$$

$$=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x+1)$$

Ora quando uno dei due$\cos x-\sin x=0$o$\cos x+\sin x+1=0$, l'espressione è uguale a 0. Puoi trovare le soluzioni a$x$e controlla se ognuno di essi risulta in un massimo o minimo.