Trova l'angolo tra due tangenti tracciate dal punto $(0, -2)$ alla curva $y=x^2$

Aug 16 2020

Trova l'angolo tra le due tangenti tracciate dal punto $(0, -2)$ alla curva $y=x^2$.

Questo è il mio tentativo:
Let$P(\alpha, \beta)$ essere un punto sulla curva. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Equazione della tangente in P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ dovrebbe soddisfare questa equazione. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Ora inserendo questi valori per trovare la pendenza$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Lo sappiamo per $\theta$= angolo tra le linee e $m_1\quad\&\quad m_2$ essere pendenza delle linee: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

La mia risposta non corrisponde al libro. Il libro è molto apprezzato, quindi non può essere sbagliato. Non riesco a trovare un errore nella mia soluzione. Il libro afferma la risposta come$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

Modifica: il libro in realtà afferma la sua risposta come$\pi - 2\arctan\sqrt8$. Ero il cieco che non poteva vedere il 2 .

Risposte

1 MichaelRozenberg Aug 16 2020 at 21:33

Penso che ci siano due errori nel tuo libro.

In primo luogo, $\theta$ dovrebbe essere un angolo acuto perché diciamo di angolo tra tangenti e non di segmenti di tangenti, ma $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

Inoltre, la tua risposta $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ è vero e anche $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

Dopo la tua riparazione, dobbiamo dimostrarlo $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ il che è vero perché $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

1 WolfgangKais Aug 16 2020 at 22:49

Come hai già dedotto, il file $x$-i valori dei due punti sulla curva sono $-\sqrt2$ e $\sqrt2$ (con un rispettivo $y$-valore di $2$).

Diamo uno sguardo alla "tangente giusta" $\big($a $(+\sqrt2,2)$$\ big) $ . Poiché la pendenza della tangente è $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , l'angolo tra l' asse $ x $ e questa tangente è $ \ arctan \ sqrt8 $ . Pertanto, l'angolo tra quella tangente e l' asse $ y $ è $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Infine, il doppio di questo angolo è l'angolo tra le due tangenti, che in effetti è $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .