Trova la lunghezza del PQ.

Question

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Permettere $ABC$essere un triangolo. Lascia la bisettrice esterna dell'angolo$A$ incontra il circumcircle del triangolo $ABC$ di nuovo a $M \neq A$. Un cerchio con il centro$M$ e raggio $MB$ incontra la bisettrice interna dell'angolo $A$ in alcuni punti $P$ e $Q$. Determina la lunghezza di$PQ$ in termini di lunghezze di $AB$ e $AC$.

Qualcuno potrebbe fornire una soluzione? Non riesco a fare progressi significativi sulla questione.

Modifica: ecco il progetto originale che ho creato in Geogebra. Spero che renda il diagramma più chiaro.

https://www.geogebra.org/classic/ezted9sg

Answer 1

Prova a dimostrarlo ..

• Trova la lunghezza di $MA=2R\cos(\frac{A+2C}{2})$primo. ( Dove$R$ è il circumradius del triangolo.)

• Quindi trova $MB=2R\cos(\frac{A}{2})$ utilizzando Sine Law (Chase the angles) in $\triangle MAB$

• Infine applica il teorema di Pitagora in $\triangle MAQ$

$MQ^2-MA^2=MB^2-MA^2=AQ^2$ e $PQ=2AQ$