Trova la somma delle serie: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Aug 17 2020

Ho qualche problema con la teoria delle serie. Le domande specifiche sono le seguenti: \ begin {equation} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ End {equation} La mia idea è proprio così :

Da $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} Tuttavia, la risposta è cosh $x$. L'idea principale si basa sulla serie di potenze di$e^x$ e $e^{–x}$. Quindi aggiungili insieme. Ma ancora non capisco cosa ho sbagliato.

Qualcuno mi può aiutare per favore. Grazie.

Risposte

3 J.W.Tanner Aug 17 2020 at 11:51

Quello che hai sbagliato è cambiato $(2n)!$ per $2^nn!$.

Avevi ragione $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,

così $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$.

$\dfrac{1+(-1)^n}2$ è $0$ quando $n$ è strano e $1$ quando $n$ è pari, così diventa $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $

2 Alearner Aug 17 2020 at 11:59

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$