Trova tutte e 3 le soluzioni numeriche per $x[(x-2)^2+1]=6$
Trova tutte e 3 le soluzioni numeriche per $x[(x-2)^2+1]=6$
Ho usato il metodo per tentativi ed errori per trovare soluzioni intere per $x$e ha scoperto che una possibile soluzione è $x=3$. Tuttavia, ci sono altre 2 soluzioni non intere e non so come trovarle.
Apprezzo qualsiasi aiuto, grazie.
Risposte
$$x(x^2-4x+5)=6$$
$$x^3-4x^2+5x-6=0$$
$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$
Devi solo verificare il discriminante di $x^2-x+2$ è negativo e conclude che non esiste un'altra vera radice.
Se sei interessato a trovare le altre radici, potresti utilizzare la formula quadratica per trovare le radici rimanenti.
Per prove ed errori istruiti:
Se presumi che l'esercizio abbia una soluzione facile, è probabile che sia un numero intero. $6$ fattori come $2\cdot3$ e poiché il secondo fattore è un quadrato perfetto più uno, questo esclude $3$. Poi$x=3$ è un bingo!
Ora spostando l'ignoto con $x:=z+3$, otteniamo
$$z^3+5z^2+8z=0$$ o $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ la cui risoluzione è facile.
Alla ricerca di soluzioni intere, l'equazione $x[(x-2)^2+1]=6$ è equivalente a $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ La seconda equazione nel primo sistema lo implica $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. Purtroppo, le uniche piazze mos.$3$ siamo $0$ e $1$, quindi questo primo sistema non ha soluzione.
La seconda equazione nel secondo sistema significa $(x-2)^2=1$, ie $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. Solo$x=3$ è compatibile con la prima equazione.
Pertanto esiste un'unica soluzione intera. Per le altre soluzioni, possiamo espandere lhs per ottenere l'equazione cubica, divisibile per$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$
L'equazione quadratica $x^2-x+2=0$ ha radici coniugate complesse: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$