Trova una formula per una trasformazione lineare [chiuso]
Trova un esempio di una formula di trasformazione lineare$\varphi$affinché:
$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$
Come affrontare tale problema? Il modo più standard per è apprezzato.
Risposte
$\varphi$è una trasformazione lineare$\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, quindi la matrice$A$che rappresentano$\varphi$(rispetto alla base standard) è$3$di$4$. Ora se$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$poi tutto nel kernel di$A$è ortogonale a$(1,-1,6,2)$, quindi impostiamo$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Non abbiamo ancora finito, perché non abbiamo specificato le voci rimanenti. Ma questo non è difficile, perché lo sappiamo$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$il che implica che tutti i vettori colonna sono multipli scalari di$(2,3,1)$. Quindi, ad esempio, la prima colonna è solo$1/2$volte$(2,3,1)$, che dà$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$Continuando questa logica, possiamo compilare allo stesso modo le ultime tre colonne, dandoci$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$Ora abbiamo finito.
Osservalo$\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$è l'insieme di tutti i vettori della forma$$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$dove$y,z$e$t$corre su tutti i numeri reali. Quindi, scegli una mappa lineare$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$tale che$$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$e$\varphi(v) = (2,3,1)$per alcuni$v \in \mathbb R^4$che non è nell'arco di$$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$
La seguente matrice descrive tale:$\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.