Trova una statistica sufficiente $Y$ per $\theta$ quindi trova lo stimatore di Bayes $w(Y)$

Question

Permettere $X_1,...,X_n$ essere un campione casuale iid con pdf $\theta x^{\theta-1}1(0 < x \le 1)$

Trova una statistica sufficiente $Y$ per $\theta$ quindi trova lo stimatore di Bayes $w(Y)$ basato su questa statistica utilizzando la funzione di perdita $L(\theta,a) = (a-\theta)^2$ dove la distribuzione a priori è esponenziale con la media $\frac{1}{\beta}$.

Prima sufficienza:

La funzione di verosimiglianza è $\displaystyle L(\theta) = \Pi_{i = 1}^n\theta x_i^{\theta -1} = \theta^n(x_1\cdots x_n)^\theta(x_1\cdots x_n)^{-1}$ quindi dal teorema di fattorizzazione possiamo prendere $Y = (x_1\cdots x_n)^{-1}$.

Stimatore di Bayes:

Per la perdita di errore quadrato lo stimatore $w(Y) = \hat{\theta} = E[\theta \mid Y\,]$ cioè la media del posteriore.

Per i posteriori bisogna prima risolvere $m(y) = \displaystyle \int_0^\infty \beta e^{-\beta \theta}y^{1-\theta}d\theta$È un integratore ben noto? Stavo cercando di risolvere con la sostituzione a U, ma da qualche parte sto commettendo un errore. sto provando$u = y^{-\theta}, du = -y^{-\theta}\log(y)d\theta$ ma per qualche motivo non riesco a vedere come prendermene cura $e^{-\beta\theta}$.

Prima di continuare gradirei sapere se questo è corretto:

MODIFICARE: $y^{-\theta} = e^{-\theta \log(y)}$ quindi riscrivi come $\displaystyle \beta y \int_{0^\infty}e^{-\theta(\beta + \log(y))}d\theta$ e impostare $u = -\theta(\beta + \log(y)) $

Allora avremo $\displaystyle -\frac{\beta y}{\beta + y}e^{-\theta(\beta + \log(y))} \bigg \vert_{\theta = 0}^\infty= \frac{\beta y}{\beta + y}$

Vorrei ancora sapere se questo è un integrale ben noto.

Ora il prossimo passo è risolvere $\displaystyle E[\theta \mid Y] = \int_0^\infty \theta \frac{y+\beta}{\beta y}\beta e^{-\beta \theta}\theta^ny^{1-\theta}d\theta$corretta? e questo servirà allo stimatore che cerchiamo.

Answer 1

Usando il teorema di fattorizzazione la statistica sufficiente per $\theta$ è $y=\prod_i X_i$. Questo perché la funzione$g(\theta,t(\mathbf{x}))$ dipende dai dati solo attraverso la statistica "t = prodotto".

La funzione $\frac{1}{\prod_{i}X_{i}}$ hai erroneamente identificato come la statistica sufficiente è la funzione di "x sola".

Quindi il posteriore è il seguente (suggerimento: quando si calcola il posteriore, scartare qualsiasi quantità che non dipenda da $\theta$)

$$\pi(\theta|y) \propto e^{-\beta \theta}\theta^n y^{\theta-1}$$

$$\propto e^{-\beta \theta}\theta^n e^{(\theta-1) log y}$$

$$\propto \theta^ne^{-(\beta-logy)\theta}$$

... riconosciamo subito in questo posteriore una distribuzione Gamma ...

ora puoi eliminare il problema da solo senza risolvere analiticamente l'integrale