Trovare un punto tra l'intersezione di due piani

Question

Quando si esegue l'esercizio di trovare una linea tra due intersezioni di piani, è necessario trovare un punto e un vettore di direzione della linea. Il vettore di direzione è facile perché è perpendicolare a entrambe le normali, ma sono un po 'confuso su come prendere il punto.

Supponiamo che ci venga data l'equazione di due piani,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

E,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

Per trovare un punto lungo la linea di intersezione, viene spesso indicato di mettere una delle coordinate come zero, diciamo $x, y$ o $z$e poi risolvi le coordinate rimanenti. Ma non sono sicuro del motivo per cui lo facciamo, come in, come facciamo a sapere che la linea tra l'intersezione di due linee dovrebbe sempre avere$x$ , $y$ e $z$ intercetta?

Ho visto questo post ma non pensavo che rispondesse alla mia domanda e non è stato nemmeno affrontato in questo

Answer 1

Supporre che $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Quindi puoi riformulare il problema come segue:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ e risolvi $x$ e $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ Questo lo dimostra per qualsiasi $z=t\in{\Bbb R}$ ottieni una soluzione unica per $x$ e $y$. Quello che succede qui è che l'intersezione dei due piani$P_1,P_2$ con l'aereo $z-t=0$ fornisce due linee non parallele (a causa del determinante AB diverso da zero) nel file $x-y$aereo. Queste due linee hanno quindi un punto di intersezione unico.

Ora, quando il tuo determinante AB sopra è zero (quindi le tue due linee nel file $x-y$ sono paralleli) quindi potresti cercare un diverso da zero $B-C$ matrice (e risolvi per $y,z$) o un diverso da zero $C-A$ matrice (e risolvi per $z,x$). Se tutti questi determinanti sono zero, i tuoi due piani originali sono in effetti paralleli, quindi l'intersezione è vuota o è un piano.

Si noti che i tre determinanti che si calcola sono in effetti i componenti del prodotto incrociato di vettori normali per i piani, quindi il prodotto incrociato non scomparendo è effettivamente una condizione affinché l'intersezione sia una linea.

Answer 2

Si potrebbero risolvere tali domande assumendo uno qualsiasi di $(x,y,z)$essere zero o mantenere uno come costante. L'intuizione alla base del mantenimento di una di esse zero è che, la maggior parte delle volte le linee che otteniamo non sono parallele a un piano, quindi devono assolutamente intersecarsi.

Quando non è così, mantenere la variabile zero produrrebbe una coppia incoerente di equazioni lineari.