Tutti i set hanno un'endomappa rigida?

Question

Permettere $X$essere un set. Due endomaps$f,f':X\to X$sono isomorfe se c'è una biiezione$g:X\to X$ tale che $f'=g\circ f\circ g^{-1}$. Una biiezione$g:X\to X$ soddisfacente $f=g\circ f\circ g^{-1}$è chiamato automorfismo di $f$. L'identità di$X$è il banale automorfismo di$f$. Un'endomappa è rigida se non ammette automorfismo non banale.

Tutti i set hanno un'endomappa rigida?

Chiaramente, l'esistenza di un'endomappa rigida di un dato insieme $X$ dipende solo dalla cardinalità $|X|$ di $X$.

Affermiamo:

Se $|X|\le2^{\aleph_0}$, poi $X$ ha un'endomappa rigida.

Prova:

Permettere $X$ essere un insieme di cardinalità al massimo $2^{\aleph_0}$e mostriamolo $X$ ha un'endomappa rigida $f$. Possiamo presumere che$X$ non è vuoto.

Se $X=\{1,\ldots,n\}$ con $n\ge2$ prepariamo $f(i)=\max\{1,i-1\}$. Se$X=\mathbb N$ prepariamo $f(i)=\max\{0,i-1\}$.

Ora supponi $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Scriviamo$|X|$ per la cardinalità di $X$.)

Permettere $I$ essere l'insieme delle classi di isomorfismi di endomappe rigide di $\mathbb N$. Noi rivendichiamo

(1) $|I|=2^{\aleph_0}$.

Mostriamo che (1) lo implica $X$ha un'endomappa rigida. Possiamo supporre$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ dove $\bigsqcup$ significa "unione discreta", dove $J$ è una cardinalità $|X|$ insieme di endomappe rigide non isomorfe di $\mathbb N$, e dove $X_j=\mathbb N$ per tutti $j\in J$. Per ciascuno$j$ permettere $f_j$ essere un'endomappa di $X_j$ di tipo $j$. Poi$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (notazione ovvia) è un'endomappa rigida di $X$.

Resta solo da provare (1).

Permettere $X_0,X_1,\ldots$ essere sottoinsiemi finiti non vuoti di $\mathbb N$ tale che:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

Per $n\ge1$ permettere $f_n:X_n\to X_{n-1}$ essere una mappa le cui fibre hanno cardinalità distinte, sia $f_0$ essere l'unico endomap di $X_0$e definire $f:\mathbb N\to\mathbb N$ di $f(x)=f_n(x)$ Se $x\in X_n$.

Allora è facile vederlo $f$ è rigido, e che abbiamo classi di isomorfismo continuum-molte di tali endomappe di $\mathbb N$.

Answer 1

La domanda ha ricevuto risposta da YCor su MathOverlow.

Volevo pubblicare una risposta wiki della comunità che conteneva solo la frase sopra, ma il software l'ha convertita in un commento. Ci riprovo dopo aver aggiunto la presente frase e il seguente estratto della risposta di YCor:

"... esiste (per $X\neq\emptyset$) una struttura ad albero radicata su $X$il cui gruppo di automorfismo è banale. In effetti, concedendo questo e denotando$v_0$ la radice, per un vertice $v$ definire $f(v)$ come $v_0$ Se $v_0=v$e come unico vertice in $[v_0,v]$ a distanza da 1 a $v$altrimenti. Poi$f\in X^X$ e il suo centralizzatore in $\mathrm{Sym}(X)$ è il gruppo automorfismo dell'albero radicato corrispondente, che è ridotto a $\{\mathrm{id}_X\}$. "