$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, metodo delle caratteristiche per l'equazione del flusso di traffico con dati iniziali di riemann
Consideriamo l'equazione non conservatrice$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$dove$a$è una costante e$f(u)=u(1-u)$.
Sto cercando di risolvere questa equazione con il metodo delle caratteristiche con la condizione iniziale$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Per metodo di caratteristiche, ho$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, ciò significa che l'equazione delle caratteristiche è$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$insieme a$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
Risolvendo queste equazioni, ho raggiunto$u(x,t)=ax+ g(t)$dove$g$è una qualche funzione di$t$da solo. Non so come procedere oltre.
Sono stato in grado di risolvere questo quando abbiamo avuto l'equazione$$u_t+(f(u))_x=0$$come là$u$era costante lungo la linea delle caratteristiche. Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto.
Risposte
Si noti che i dati iniziali$u(x,0)$consiste in una discontinuità di salto da$u_l$a$u_r$, quindi questo problema ai valori iniziali è un problema di Riemann . Il popolare modello di flusso di traffico Lighthill-Witham-Richards (LWR) viene recuperato quando$a=0$e la soluzione di Riemann corrispondente è descritta in questo post . Affrontiamo il caso dell'arbitrario$a$, ad esempio seguendo un approccio simile a questo post . Collocamento$v = 1 - 2u$fornisce la PDE$$ v_t + vv_x = -2av $$per cui il metodo delle caratteristiche cede$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$e$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$che è equivalente alla soluzione trovata nella risposta di @Dmoreno. Tuttavia, per dati iniziali discontinui, il metodo delle caratteristiche non è sufficiente (è valido solo dove$u$è liscio). Pertanto, utilizziamo metodi appropriati per risolvere questo problema in senso debole, vedere il post correlato . Qui troviamo la soluzione dell'onda d'urto$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$Se$v_l > v_r$, e la soluzione dell'onda di rarefazione$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$Se$v_l < v_r$. Si potrebbe verificare che la stessa soluzione$u = \frac{1-v}2$si ottiene affrontando direttamente il problema PDE iniziale (senza modificare le variabili).
Da$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$ottieni$u - ax = c_1$, e da$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$ottieni$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Permettere$c_2 = f(c_1)$ricavare una soluzione implicita per$u$, determinato dall'equazione
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
Il compito ora è quello di determinare$f$dalla condizione iniziale ed eventualmente risolvere$u$. Puoi prenderlo da qui?