Un bambino lancia 7 monete giuste. Trova la probabilità che si verifichino almeno due teste, dato che si verificano almeno tre croci.
Domanda: Un bambino lancia 7 monete giuste. Ci sono numeri interi positivi relativamente primi m e n in modo che$\frac{m}{n}$è la probabilità che si verifichino almeno due teste, dato che si verificano almeno tre croci. Trova (m + n).
Dal linguaggio della domanda ho capito che sta chiedendo la probabilità condizionale per gli eventi:
1.Occorrenza di almeno 2 teste = evento A
- Presenza di almeno 3 code = evento B es. $$P(E)=\frac{P(A and B)}{P(B)}$$
Il mio approccio:
Per trovare $P(B)$, Ho trovato la probabilità che non si verifichi alcuna coda ($\frac{1}{2^{7}}$), si verifica solo una coda ($\frac{7}{2^{7}}$) e si verificano solo due code ($\frac{\binom{7}{2}}{2^{7}}$), sommandoli e sottraendo da 1 ho ottenuto,$$P(B)=1-\frac{29}{2^{7}}$$ Ora per trovare $P(AandB)$ Ho scelto 5 lanci qualsiasi tra i 7 disponibili in $\binom{7}{5}$ modi e arrangen 3 code e 2 teste dentro $\frac{5!}{2!3!}$ modi, ora non importa cosa succede nei restanti due posti (poiché la condizione iniziale è stata soddisfatta), quindi la probabilità dovrebbe essere $$\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\frac{1}{2^{5}}$$ ma questo valore risulta essere maggiore di 1, non sono in grado di trovare l'errore nelle mie ipotesi e calcoli, per favore aiutatemi.
So che questa domanda ha trovato risposta qui , ma voglio chiarire dove ho sbagliato o ho giudicato male.
Risposte
La tua idea e calcolo per $\mathbb{P}(B)$sono corretti. La tua idea per$\mathbb{P}(A \cap B)$non è corretto, poiché importa quali sono gli altri due valori nella sequenza. Come @ Fawkes4494d3 ha appena sottolineato correttamente, conti gli eventi più volte quando lo fai in questo modo. Per una soluzione adeguata, pensa agli eventi in cui hai sia 2 o più teste che 3 o più croci. Gli unici eventi che soddisfano questa combinazione sono 3,4 o 5 code. Quindi pensa a come puoi calcolare la probabilità su questi eventi.