Una disuguaglianza differenziale con valori limite

Question

Permettere $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ essere due volte differenziabili in funzione $(0,1)$ tale che $f(0)=f(1)=0$ e $f''+2f'+f \ge 0$

Quindi quale dei seguenti valori non può essere raggiunto $f$ ?

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

Il mio primo pensiero è stato quello di prendere l'uguaglianza con zero.

Poi $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ whefe $a,b$ sono costanti arbitrarie

Con il valore limite, abbiamo $a=0=b$ così $f=0$. Quindi nessuna conclusione

Ancora una volta prendendo l'equazione differenziale

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

Abbiamo la soluzione generale come

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

Con i valori limite

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ e $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

Ma cosa concludere da questo?

Sono totalmente confuso poiché sono nuovo a questo tipo di problema.

Per favore aiutami a risolvere questa domanda. Grazie per il tuo tempo.

Answer 1

Ritenere $g(x)=e^xf(x)$. Poi$g(0)=g(1)=0$ e $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$. Ciò significa che$g$è una funzione convessa. Ora ricorda come una secante giace rispetto a una funzione convessa per concludere ciò$g(x)\le 0$ e così anche $f(x)\le 0$ per $x\in[0,1]$.