Una domanda sui funzionali e sullo spazio duale

Aug 24 2020

Ho una domanda che non riesco a dimostrare

Se $f_1, f_2 ,..., f_n$ sono funzionali linearmente indipendenti in un file $n$-spazio vettoriale dimensionale $V$ al suo campo scalare $F$ esiste sempre una base $x_1, x_2,..., x_n$ di V tale che $$f_i(x_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1 \qquad i=j \\ 0 \qquad i \ne j \end{cases}$$

So che dovrei mettere il mio lavoro qui ma non so come dimostrarlo. È un problema all'esame che ho tra due giorni e apprezzerei davvero un aiuto

Risposte

2 azif00 Aug 24 2020 at 18:07

Alcuni passaggi per raggiungere il risultato:

  • Prova che $f_1,\dots,f_n$ è una base per $V^*$, lo spazio di tutte le funzioni lineari da $V$ per $\mathbf F$.
  • Per ciascuno $v \in V$ definire $\operatorname{ev}(v) : V^* \to \mathbf F$ di $\operatorname{ev}(v)(\phi) = \phi(v)$e dimostralo $\operatorname{ev}(v) \in V^{**}$, dove $V^{**}$ è lo spazio di tutte le funzioni lineari da $V^*$ per $\mathbf F$.
  • Dimostralo se $v \in V \setminus \{0_V\}$ allora esiste $\phi \in V^*$ tale che $\phi(v) \neq 0$. Concludilo$\operatorname{ev} : V \to V^{**}$ è iniettiva, e quindi concludere che any $\varphi \in V^{**}$ è $\operatorname{ev}(v_\varphi)$ per alcuni $v_\varphi \in V$.
  • Se $\varphi_1,\dots,\varphi_n \in V^{**}$ è la doppia base per $f_1,\dots,f_n$, quindi per ciascuno $i$ fra $1$ e $n$ permettere $x_i \in V$ tale che $\varphi_i = \operatorname{ev}(x_i)$e dimostralo $x_1,\dots,x_n$ è la base desiderata per $V$.
HennoBrandsma Aug 24 2020 at 05:54

Il kernel di ciascuno $f_i$ ha dimensione $n-1$. Qual è la dimensione minima di$$\bigcap_{i \neq j} \operatorname{ker}(f_i) \text{ ? }$$

KevinLópezAquino Aug 24 2020 at 05:57

$\textbf{Hint:}$ Da $f_{1}, \ldots, f_{n}$ sono linearmente indipendenti e $V^{*}$ ha dimensione $n$, costituiscono una base per $V^{*}$. Adesso molla$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ in $V^{**}$ essere la doppia base di $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Per ogni$v \in V$, possiamo considerare la "valutazione a $v$"funzionale lineare: \ begin {equation *} \ begin {split} \ text {ev} _ {v}: & \ hspace {0.1cm} V ^ {*} \ rightarrow K \\ & \ varphi \ mapsto \ varphi ( v). \ end {split} \ end {equation *} La mappa lineare che le associa$v \in V$ per $\text{ev}_{v}$ è un isomorfismo tra $V$ e $V^{**}$. In particolare,$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ appartengono all'immagine di questa mappa lineare, quindi ...

DisintegratingByParts Aug 24 2020 at 20:01

Permettere $y_1,y_2,\cdots,y_n$ essere una base di $X$. Poi$A=[f_i(y_j)]$deve essere invertibile. Se non fosse così, allora esisterebbero gli scalari$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ che non sono tutti zero tali che $$ [f_i(y_j)]\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right] = 0. $$ Ma questo lo implicherebbe $\alpha_1 f_1 + \cdots + \alpha_n f_n$ svanisce sulla base $\{ y_1,y_2,\cdots,y_n\}$ e, quindi, deve essere il $0$funzionale, il che è una contraddizione. Così perchè$A$ è invertibile, esiste una combinazione lineare $F$ del $f_i$ tale che $F(x_j)=\delta_{j,k}$. E questo è vero per ogni dato$k=1,2,\cdots,n$.