Una domanda sulla regola della catena per i derivati ​​parziali

Question

Permettere $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ essere una funzione differenziabili e considerare la funzione $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Calcolare$\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ e $\frac{\partial F}{\partial z}$ in termini di $f$derivate parziali del primo ordine.
Ho iniziato riconoscendolo$F=f\circ g$, dove $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Indichiamo con$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ e $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$componenti di.
Per la regola della catena lo so$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ e le stesse relazioni valgono per $\partial y$ e $\partial z$, ma non capisco come / se potessi semplificare ulteriormente $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ e $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Per quanto ho capito, questi sono i derivati ​​parziali di$f$ rispetto alle funzioni $u$ e $v$. Come li calcolo?

Answer 1

Per rendere le cose più chiare, denota $u$ e $v$ le variabili per $f$, dove $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$

La regola della catena lo afferma \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} e analogamente per gli altri derivati ​​parziali.

Answer 2

Se usi la regola della catena per la derivata di $multivariate$ funzioni, puoi leggere il file $partial$derivati. Più precisamente, seguendo la tua idea, abbiamo

$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$

In forma di matrice,

$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$

Ora multipla le matrici per leggere le derivate.