Una funzione differenziabile due volte che soddisfa un'equazione differenziale

Aug 18 2020

La domanda è :

Permettere$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$essere una funzione differenziabile due volte soddisfacente

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $dove$g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

Quale delle seguenti è/è vera?

$(1)$Se$f(0)=f'(0)=1$, poi$f(3)\lt 3$

$(2)$Se$f(0)=f'(0)=2$, poi$f(4)\lt 4$

$(3)$Se$f(0)=f'(0)=3$, poi$f(3)=5$

$(4)$Se$f(0)=f'(0)=3$, poi$f(3)=6$

I miei pensieri:-

Parlerò prima di$(3)$e$(4)$

Permettere$g(x)=0$

Quindi con un po' di calcolo, possiamo mostrare

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$come candidato idoneo da scartare$(3)$e$(4)$

Qui, per opzione$(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

Su entrambi i lati in quadratura

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$, una contraddizione

Allo stesso modo$f(3)= 6$darà la contraddizione

$\sin 3+\cos 3=2$(sottointendendo$\sin 3=\cos 3=1$il che è impossibile).

Così ci resta$(1)$e$(2)$

Nota: una leggera variante dell'esempio precedente soddisfa la condizione in$(1)$e$(2)$

Ho provato con semplici esempi come$g(x)=1 $e$f(x)=x$o come i quadratici ma non sono riuscito a raggiungere conclusioni.

Si prega di aiutare con le opzioni$(1)$e$(2)$. Grazie per il tuo tempo.

Risposte

1 LutzLehmann Aug 19 2020 at 14:31

Considera la funzione energia$E=f(x)^2+f'(x)^2$. Quindi$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$affinché$E$sta cadendo lungo le soluzioni. Per quanto posso vedere questo implica che 1) e 2) sono vere.

In 1)$f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$e similmente in 2)$f(x)\le\sqrt8<4$. Allo stesso modo in cui entri in 3) e 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$, in modo che i valori dati non possano mai essere raggiunti.