Unicità della rappresentazione di Fourier

Question

Ho iniziato a leggere dell'analisi di Fourier. Stavo giusto leggendo dell'unicità della rappresentazione di Fourier. Apparentemente se la serie di Fourier$\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}$converge uniformemente a$f(x)$poi i valori di$c_n$sono costretti ad essere il valore$\hat{f}(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 \pi n x}dx$. Questo è affermato come se fosse ovvio ma non riesco a capire perché. Non vedo come entri in gioco la convergenza uniforme.

Answer 1

La convergenza uniforme lo implica$$\int_0^1 e^{-2i\pi kx}\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}dx=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} \int_0^1 e^{-2i\pi kx}c_n e^{2\pi i n x}dx = c_k$$