Utilizzare l'approssimazione normale per stimare la distribuzione uniforme

Aug 23 2020

Permettere$X_1,...,X_{10}\sim U(0,1)$. Utilizzare l'approssimazione normale per stimare

$$P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k>5\right).$$

La mia soluzione finora:

$EX=\frac{1}{2}$e$VarX=\frac{1}{12}$

$$P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k>5\right)=1-P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k\le5\right)=1-\left(\frac{\sum^{10}_{k=1}X_k-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\le\frac{5-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\right)=1-\Phi\left(\frac{5-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\right)=1-\Phi(54).$$

Sono abbastanza nuovo nell'approssimazione normale e qualcosa sta andando storto qui, ma non so cosa.

Risposte

2 callculus Aug 23 2020 at 16:47

Diciamo che hai$X_1, X_2, \ldots , X_n$iid variabili casuali, dove every$X_i$ha un valore atteso di$\mu$e una varianza di$\sigma^2$. Quindi probabilmente puoi usare il teorema del limite centrale. Per un sufficientemente grande$n$la somma di tutto$X_i$'s è approssimativamente distribuito come$\mathcal N(n\cdot \mu, n\cdot \sigma^2)$. Insieme a$\mu=0.5,\sigma^2=\frac1{12}$e$n=10$noi abbiamo

$$\sum_{i=1}^{10} X_i \overset{\lower{0.5ex}{\cdot}}{\underset{\raise{1ex}{\cdot}}{\sim}} \mathcal N\left(5 , \frac{10}{12}\right)$$

Quindi la tua linea si trasforma in

$$1-P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k\le5\right)=1-P\left(\frac{\sum^{10}_{k=1}X_k-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\le\frac{5-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\right)$$

Al denominatore dobbiamo prendere la radice quadrata, poiché abbiamo bisogno della deviazione standard.

$$\approx 1-\Phi\left(\frac{5-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\right)=1-\Phi(0)=1-0.5=0.5$$

Ho assunto l'indipendenza delle variabili casuali qui. E una regola empirica per applicare il teorema del limite centrale è questa$n>30$, che qui non si compie. Ma probabilmente$n=10$serve per ottenere$\Phi(0)$, che è facile da valutare.