Valutare $\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx$.
Sto cercando di valutare il seguente integrale: $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ dove $\zeta >0$è un numero reale positivo. Poiché l'antiderivativa di questa funzione è solo in termini di integrale esponenziale, ho deciso di adottare un approccio diverso.
Il mio tentativo
Ho fatto quanto segue $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(i \zeta e^{ ix}\right)^n}{n!} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n!} \int_0^{\pi} e^{nix} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n! (in)}\left(\underbrace{e^{i\pi n}}_{(-1)^n} -1\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta^ni^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$ Per verificare quindi se la mia procedura era corretta, ho usato WolframAlpha per valutare entrambi i lati dell'equazione per il valore $\zeta = 1$. Da qui ho capito$$ \int_0^{\pi} e^{i e^{ ix}} \ dx = 1.2494... \neq -0.9193... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$Non sono sicuro di dove ho commesso il mio errore. Penso che scambiare l'integrale e la somma sia giustificato poiché credo che la somma converga assolutamente, ma ora non ne sono così sicuro.
Qualcuno potrebbe dirmi dov'è il mio errore? O in alternativa, qualcuno potrebbe dirmi come potrei valutare questo integrale? Grazie!
Modifica: grazie ai commenti, credo di poter semplificare l'integrale di essere$$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt $$ Non sono sicuro che l'approccio che stavo adottando fosse un buon modo per dimostrarlo, ma se qualcuno avesse qualche idea su come potrei forse arrivare qui, li apprezzerei molto!
Risposte
Dopo aver giocato con l'integrale per un po ', credo di aver trovato un modo per risolvere l'integrale e ottenerlo in termini di $\text{Si}(\zeta)$.
Diciamo che definiamo $F(\zeta)$ come $$ F(\zeta) := \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ Qui lo notiamo $F(0) = \int_0^{\pi} 1\ dx = \pi$. Ora, da qui possiamo quindi analizzare la derivata di$F$ come segue: \begin{align} F'(\zeta) &= \frac{d}{d\zeta} \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \frac{\partial}{\partial \zeta }e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx =\int_0^{\pi}e^{i \zeta e^{ ix}}\left(e^{ix}\right)i\ dx \\ &\overset{\color{blue}{u=ix}}{=} \int_0^{i\pi}e^{i \zeta e^u} e^u \ du \overset{\color{blue}{s=e^{u}}}{=}\int_1^{-1}e^{i \zeta s} \ ds = \frac{e^{i \zeta s}}{\zeta i}\Bigg\vert_{s=1}^{s=-1} = \frac{1}{\zeta i}\left(e^{-i\zeta} - e^{i \zeta}\right)\\ &= -\frac{2}{\zeta} \left( \frac{e^{i\zeta}-e^{-i\zeta}}{2i}\right) = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} \end{align}ricordando che possiamo mettere la derivata come parziale all'interno dell'integrale a causa della regola integrale di Leibniz. D'altra parte, dal teorema fondamentale del calcolo, possiamo facilmente vederlo$$ \frac{d}{d\zeta}-2\text{Si}(\zeta) =-2 \frac{d}{d\zeta} \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} $$ E da quando abbiamo trovato $2$ funzioni con la stessa derivata, sappiamo che devono essere uguali fino a una costante, o in altre parole $$ F(\zeta) = -2 \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c $$ Ma ricordando la condizione iniziale che avevamo, possiamo risolvere il valore della costante come segue $$ F(0) = \pi = \int_0^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c = c $$ e così otteniamo il risultato finale $$ \boxed{\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt} $$
Penso che questa soluzione sia valida per qualsiasi $\zeta \in \mathbb{R}$, il che significa che potrei generalizzare il problema originale a più di semplici valori positivi. Credo di non aver perso nessun dettaglio questa volta, ma se l'ho fatto per favore fatemelo sapere!
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\left.\int_0^{\pi}\expo{\ic\zeta{\large\expo{\ic x}}}\!\!\dd x \,\right\vert_{\ \zeta\ \in\ \mathbb{R}}} = \int_{\large z\ \in\ \expo{\large\ic\,\pars{0,\pi}}} \expo{\ic\,\zeta z}\,{\dd z \over \ic z} \\[5mm]= &\ \lim_{\epsilon \to 0^{\large +}}\bracks{% -\int_{-1}^{-\epsilon}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} - \int_{\pi}^{0}\exp\pars{\ic\,\zeta\epsilon\expo{\ic\theta}} \,{\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta \over \ic \epsilon\expo{\ic\theta}} -\int_{\epsilon}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x}} \\[5mm] = &\ -\mrm{P.V.}\int_{-1}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} + \pi = \pi - \int_{0}^{1}\pars{\expo{\ic\,\zeta x} - \expo{-\ic\,\zeta x}}\,{\dd x \over \ic x} \\[5mm] = &\ \pi - 2\int_{0}^{1}{\sin\pars{\zeta x} \over x}\,\dd x = \pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\zeta}\int_{0}^{\verts{\zeta}}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x \\[5mm] = &\ \bbx{\large\pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\xi}\,\mrm{Si}\pars{\verts{\zeta}}} \\ & \end{align} $\ds{\mrm{Si}}$è la funzione Sine Integral .