Valutare $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

Valutare $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

Impostato $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

Quindi integrale diventa $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

Impostato $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, così $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ e $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

Ma la risposta corretta è $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

Qualcuno può mostrarmi dov'è il mio errore e anche un modo migliore per risolvere il problema? Grazie!

Answer 1

Non ci sono errori. $C$ è una costante arbitraria e $-\frac 3 2+C$ è solo un'altra costante $C'$. E non c'è modo migliore per rispondere a questa domanda.

Answer 2

Metodo alternativo

Ritenere, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Riorganizzare, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Quindi, integrando entrambe le parti puoi ottenere la risposta

Answer 3

La tua soluzione è corretta in quanto una costante più un'altra costante può essere rappresentata da una costante diversa, quindi $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

In alternativa, puoi integrare per parti e lasciare $u=\ln(2x+3)$ e $dv=dx$. Poi$du=\frac{2}{2x+3}$ e possiamo prendere $v=x+\frac{3}{2}$. Ne consegue che\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} come previsto!