Valutazione del limite multivariabile $\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin(xy)}{x}$

Question

Domanda : valuta il limite$$\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin(xy)}{x}$$

Il mio primo pensiero è che il limite assomigli molto alla singola variabile $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Indipendentemente da cosa$y$ è (fintanto che è reale) $xy \to 0$. Quindi sto concludendo erroneamente che l'intero limite restituisce$1$. Immagino che il rapporto di convergenza non sia lo stesso del caso della variabile singola, quindi potrebbe non essere 1. Tuttavia, non sono sicuro di come valutarlo correttamente.

Answer 1

La tua idea è corretta ma abbiamo bisogno di qualche correzione, anzi da allora $xy\to 0$ ce l'abbiamo

$$\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin xy}{x}=\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin xy}{xy}\cdot \frac{xy}{x}=\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin xy}{xy}\cdot y=1\cdot2=2$$