Valutazione dell'aspettativa di una variabile casuale
Permettere $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ essere vettori unitari e linearmente indipendenti e $X_1,...,X_n$ variabili casuali indipendenti (su uno spazio di probabilità specifico) tali che ogni $X_i$ ha una distribuzione di parametri di Bernoulli $p_i \in [0,1]$.
a) Let $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, calcola l'aspettativa di $Z$, dove $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ con $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.
b) Sia V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, dimostralo per qualsiasi $v \in V$ esiste un $y \in V$ tale che $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ e $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, con $b_i \in \{0,1\}$. Suggerimento: utilizzando a).
Ho trovato questo esercizio online e ho dei problemi a risolvere il punto b). Ho fatto il punto a) scegliendo$( \mathbb{R}^n, B, P)$ come spazio di probabilità, dove B è Borel $\sigma $-algebra e P è uguale alla misura del prodotto di $X_i$distribuzioni. Ho scoperto che l'aspettativa di Z è\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}
Vorrei sapere se la mia soluzione del punto a) è corretta e ricevere qualche consiglio per il punto b).
Grazie
Risposte
Immagino che il punto b sia il problema principale dell'esercizio e può essere dimostrato come segue.
a)) Let $y=\sum x_i v_i$, dove $x_i=1$ con probabilità $p_i$ e $x_i=0$ con probabilità $1- p_i$, indipendentemente.
Poi
$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$
Così $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$
b)) Scelta $p_i=a_i$ per ciascuno $i$, lo otteniamo $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ che implica il punto b.