Valutazione di una sezione razionale di un fascio invertibile in un punto codim 1

Question

Permettere$X$essere uno schema integrale. Permettere$\mathcal{L}$essere un covone invertibile. Da una sezione razionale di$\mathcal{L}$Intendo una coppia$(s, U)$dove$s$è una sezione di$\mathcal{L}$Sopra$U$definito fino alla relazione di equivalenza di concordare un sottoinsieme aperto più piccolo. Se$Y$è una codimensione chiusa irriducibile$1$sottoinsieme di$X$con punto generico$\eta$, si sostiene che si possa definire la valutazione di una sezione razionale di$\mathcal{L}$a$\eta$. L'affermazione è che questo può essere fatto considerando un isomorfismo$$ \psi_\eta : \mathcal{L}_\eta \longrightarrow \mathcal{O}_\eta $$e poi prendere la valutazione in$\mathcal{O}_\eta$. Ma non vedo come questo sia possibile in generale. Può darsi che non ci siano sottoinsiemi aperti di$X$contenente$\eta$in cui$s$è definito. Quindi non sarà rappresentato in$\mathcal{L}_\eta$affatto. So che in questa situazione dovrebbe avere una valutazione negativa. Ma come si ottiene effettivamente quella valutazione?

Answer 1

Invece di prendere$\eta$essere il punto generico di$Y$, si dovrebbe prendere$\eta$essere il punto generico di$X$. Poi il composito$$\mathcal{L}(U)\to \mathcal{L}_\eta \to \mathcal{O}_\eta = K(X)$$invia$s$ad un elemento di$K(X)$e si applica la valutazione corrispondente a$Y$dentro$K(X)$.