Visualizzazione dello schema $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$

Question

Permettere $k$ essere un campo algebricamente chiuso (per me sto usando $k=\mathbb C$). lo so$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ consiste semplicemente nell'ideale primo $(x)$. In effetti, qualsiasi ideale$\mathfrak p$ di $k[x]/(x^2)$ è un ideale di $k[x]$ tale che $(x^2) \subset \mathfrak p$.

Se ora consideriamo $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$, ora i primi ideali di $k[x,y]$ siamo $(0)$, $(x-a,y-b)$ per $a,b \in k$ e polinomi irriducibili $f(x,y)$ generando $(f(x,y))$.

Chiaramente $(y^2)\not\subset (0)$. Per quanto riguarda i polinomi irriducibili, abbiamo$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$, quindi penso sia giusto dire che gli ideali in biiezione con questi sono della forma $(a+f(x)y+g(x))$ dove $a,b \in k$ e $f,g$irriducibile. suppongo$(x-a,y-b)$ sarebbero anche i primi ideali dell'anello del quoziente poiché il quoziente per loro dà un dominio integrale.

Ora mi interessa capire la generalizzazione $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$. In particolare:

• Possiamo classificare tutti gli elementi dello spettro di questo anello, per $n \geq 1$?
• Possiamo visualizzare questo schema, ed è stato studiato in qualche contesto in letteratura?

Answer 1

Permettere $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $

Poi $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$, la linea affine sopra l'anello $R$. Osservalo da allora$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$, è un ideale massimale nilpotente di $R$, $\operatorname {Spec} R= \{m \}$, vale a dire è un punto grasso nel senso di Mumford.

Se $p\in \mathbb A^1_R$, considera l'immagine in $\operatorname {Spec} R$ sotto il morfismo della struttura $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$. Così$\pi(p)=m$.

Dal momento che abbiamo $R/m \cong k $, vediamo una corrispondenza uno-uno $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$

Così come $\textbf{sets}$ hai $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $

Ma ovviamente i covoni della struttura sono diversi. $\mathbb A^1_R$ ha nilpotenti nel covone della struttura.