2つのアーベル正規部分群の要素は通勤しますか？
Aug 16 2020
そう $H$ そして $K$いくつかのグループの通常のアーベルサブグループです。それはすべてに当てはまりますか$h \in H$ そしてすべてのために $k \in K$ それ $hk=kh$？この声明は有効ではないと思いますが、（かなり単純な）反例を見つけることができません。
回答
8 AnginaSeng Aug 16 2020 at 18:14
しましょう $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ 四元数群になる $8$。検討する$H=\{\pm1,\pm i\}$ そして $K=\{\pm1,\pm j\}$。
2 DavidA.Craven Aug 16 2020 at 18:26
最も簡単な反例は二面体群です $D_8$、によって生成されたと言う $a$ 注文の $4$ そして $b$ 注文の $2$。のすべての要素$D_8$ 順序の通常のサブグループにあります $4$： $\{1,a,a^2,a^3\}$、 $\{1,a^2,b,a^2b\}$ そして $\{1,a^2,ab,a^3b\}$。もちろん、これらは秩序があるので、すべてアーベルです。$4$。あなたの声明が保持された場合、$D_8$ したがって、アーベル群になりますが、もちろんそうではありません。
の例 $Q_8$もちろん、他の2つの答えから完全に有効です。実際、$G$ 非アーベル群の位数です $p^3$ 次に、すべての要素は順序のサブグループにあります $p^2$ （これは必然的にアーベルで正常です）、したがってすべての非アーベル群の位数 $p^3$ 反例です。
1 Arthur Aug 16 2020 at 18:15
任意のハミルトニアングループは、任意の巡回部分群はアーベルと通常であるとして、定義によってあなたに反例を与えるだろう、まだあなたが通勤していない発電機を持つ2つの巡回サブグループを見つけることができます。
そのような最小の例は、クォータニオングループです。 $Q_8$。