3 +1分解の逆行列

一度だけやらせてください。質問はspiridonによって回答されましたが、spiridonの回答には推測作業が含まれるため、正式な導出を行いたいと思います。区分行列の逆行列を計算する必要がある状況があります。したがって、最初に区分行列の逆行列の一般式を導き出し、次にそれをメトリックに適用します。

2つの非特異をしましょう $n\times n$ 行列 $A$ そして $B$ 次のように分割されます。 \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} しましょう $A_{11}$ そして $B_{11}$ あります $k\times k$ との行列 $k<n$。また、\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} さて、 $B=A^{-1}$、次に、の成分行列を見つけます。 $B$ の成分行列の観点から $A$。我々は持っています、\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} この行列の関係は次のようになります。 \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} （2）と（3）から、 \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} これらを（1）と（4）に代入すると、次のようになります。 \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} したがって、 \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} これらを（2）と（3）に代入すると、次のようになります。 \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} したがって、 \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} 私たちの目的のために、拡張すると便利ですが、 $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$行列の反転補題の観点から。まず、アイデンティティを導き出しましょう。ご了承ください、\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} これは、 \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}必要なすべての逆関数が存在する場合！次に、\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} したがって、 \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}上記のアイデンティティは、ウッドベリー行列のアイデンティティと呼ばれます。今、識別$M=A_{22}$、 $U=-A_{21}$、 $C=A_{11}^{-1}$ そして $V=A_{12}$、 我々が得る、 \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} したがって、私たちはついに、 \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}この一般式を導き出した後、メトリックの逆数の計算に戻りましょう。我々は持っています、\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} さて、 \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} また、次の点にも注意してください。 $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$。次に、\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} そして \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} そして最後に、 \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}出来上がり！楽しい！

まあ、推測することなく、これを行うためのより明確な方法があるかもしれません。逆行列の定義から始めます。$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ またはより具体的に： $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ コンポーネントで書かれています： $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ 今、の対称性を使用して $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ 交換中 $\mu \leftrightarrow \nu$、あるかもしれませんが、 $ D(D+1) / 2$ 原理的に解くことができる、同じ数の未知数に関する線形方程式。

これらを直接行うことは退屈な作業のように思われるので、知識に基づいた推測があります。私たちがそれを知っていたとしたら$g^{00}$ です $-N^2$、一般的に仮説は $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$、次に、最初の方程式は次のように設定することですぐに解決されます。 $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$次に、2行目を見ることができます。ここでも当然のことですが、$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$、 どこ $b^{\mu \nu}$また、対称です。この置換により、次のようになります。$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ ここでも、 $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ 仕事をします。

この回答は、spiridonの回答をわずかに拡張し、OPの設定の一部をわずかに異なる言語で言い換えています。

逆メトリック $g^{-1}$、テンソルであるため、座標に依存しません。したがって、特定の座標系で逆距離の成分を決定する1つの方法は、座標に依存しない表現からそれを導出することです。つまり、基底の逆メトリックの場合$\{{\bf e}_a\}$ によって与えられます $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ 次に、そのコンポーネントはのアクションによって与えられます $g^{-1}$ 双対基底 $\{{\bf e}^a\}$： $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ 時空の3+ 1分解は、スカラー場の水平面（実際には超曲面）によって実現されます。 $f$。通常の単位は$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$。通常のユニットから$n^a$ プロジェクターを並列に構築できます（$P_\parallel$）および直交（$P_\perp$）それに。それらのコンポーネントは次の式で与えられます$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ これらのプロジェクターを使用すると、メトリックのコンポーネントを決定できます $g_{ab}$ 超曲面葉の観点から： $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ テンソル場 $h_{ab}$は、単位法線による超曲面の収縮がすべてなくなるため、超曲面に誘導されるメトリックです。同様に、逆距離の成分が満たされていることを確認できます$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ 与えられた超曲面上 $f=t$、1つのパラメータ座標のセットを導入します $y^\alpha$ の関数としてスムーズに変化します $t$。これにより、一連のベクトル場が生成されます$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$超曲面に接する、超曲面から時空への埋め込みマップとして機能します。特に、誘導されたメトリックは、関係を介してこれらの新しい座標で表すことができます。$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$。この座標系では、時間ベクトル$t^a$ 一般に超曲面に直交していませんが、直交に分解できます $N$ と接線 $N^\alpha$ 部品： $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ ご了承ください $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ 時間ベクトルの二重です $t^a$。\ eqref {decomposition}を\ eqref {inverse}に代入すると、次のようになります。$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ 与えられた座標系の逆距離の成分は、収縮によって見つけることができます： \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

参照：

• E. Poisson（2007）、相対論者のツールキット-第3章、第4章
• E. Gourgoulhon（2012）、3 + 1形式主義と数値相対性の基礎-第2章、第3章