$3^{123} \mod 100$

あなたは確かに正しいです。ただし、1つの小さな改善があります。を使用してhttps://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function、あなたはより小さな力が $3$、すなわち $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$。のカーマイケル関数は、引数が偶数でオイラーのトーティエントがの倍数である場合に、オイラーのトーティエント関数の半分を除算します。$4$、これは $\lambda(100)$; したがって、$3^{20}$ 置き換えることができます $3^{40}$ 引数で。

より基本的なレベルでは、レンダリングすることができます $3^4=80+1$ 両側を5乗して、こうして $3^{20}\equiv1\bmod 100$ の二項定理として $(80+1)^5$ の倍数を与える $100$ プラス $1$。

正しい、代替ソリューション：

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

正しい！私はあなたの論理が正しく成り立つと信じています。私が見る限り、これはオイラーのフェルマーの定理の一般化の正しい適用です。$\phi(100) = 40$ したがって $3^{40} \cong 1 \mod 100$

さらに説得力が必要な場合は、入力するだけです $3^{123}$ に https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php。

繰り返しますが、実際には必要ありませんが、具体的な証拠が必要な場合はあります。

OPはパターンを探すことから始めましたが、次のように述べています。

...多くの苦痛な検査にもかかわらず、明らかな有用なパターンは得られませんでした。

いくつかの光理論を使用して、パターンの形と構造を実際に予測することができます。

次の場合にそれを観察します $a \in \{0,2,4,6,8\}$ そして $b \in \{1,3,7,9\}$ そして

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

その後、実際には $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ そして $b' \in \{1,3,7,9\}$。

これが私たちの主な（理論的な）パターンであり、

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

単位の桁が移動することを簡単に確認できます

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

これらの4つのサイクルのそれぞれの内部。

それを考慮して $3$ は https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_(ring_theory)#Group_of_units、これらの1つが $4$-サイクルはで終了します

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

そして、識別に到達するまで繰り返すことはできません。

十の位はセットを循環することしかできないので$\{0,2,4,6,8\}$、これらは最大で5つあります $4$-計算する必要のあるサイクル。

の計算 $2^{nd}$ $4$-サイクル：

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

の計算 $3^{rd}$ $4$-サイクル：

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

の計算 $4^{th}$ $4$-サイクル：

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

この時点で、実際に計算する必要はありません。 $5^{th}$ $4$-最後のものでなければならないことがわかっているので、サイクルします。

これで、次の事実を使用できます。

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

OPの質問の残りの詳細を検討します。