アーベル基準証明
次のステートメントを証明したいと思います。
なりましょう $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ 収束級数と $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$単調で有界なシーケンス。次に$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 収束もします。
この問題についてはすでにいくつかの質問がありますが、ほとんどの場合、追加の仮定があります（つまり、 $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ と $b_k\geq 0$ すべてのために $k$）。
私のアプローチ：
定義する $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$。なので$A_n$ 収束している限界が存在する $A$ そのような $|A_n|\leq A$ すべてのために $n$。私達はことを知っています$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ 収束しているため、シーケンス $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$また、収束します（2つの収束シーケンスの積）。なりましょう$n_1$ そして $n_2$ すべてのためのような2つのインデックス $n,m$ と $n>m>n_1$ それは保持します $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ そしてすべてのために $n,m$ と $n>m>n_2$ それは保持します $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$。今、私たちは定義します$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$。これを念頭に置いて、アベルの補題（部分和分）を適用し、それはすべてに続きます$n>m>n_0$：
$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ 場合 $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ 単調に減少しているのは次のとおりです。 $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$
場合 $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ 単調に増加しているのは次のとおりです。 $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ したがって、どちらの場合も $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ コーシーの基準を満たしているため、収束しています。
これは正しいですか、それともよりエレガントで高速なアプローチがありますか？
回答
別のアプローチとして、コーシー基準を使用せずに部分和のシーケンスが収束することを示すことができます。限界の存在があります$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ そして $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$
パーツごとに合計すると、
$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$
シリーズ $\sum(b_k - b_{k-1}) $ 以来収束します $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ なので $n \to \infty$。以来$(A_k)$ 有界シーケンスと用語 $(b_k- b_{k+1})$ すべて同じ記号であるため、次のようになります $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ 収束します。
したがって、シリーズ $\sum a_kb_k$ 以来収束します
$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$
これは、ディリクレの基準に従います。確かに、$b_k \le b_{k+1}$ そして $\lim b_k = b$。
次に
\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}
最初の合計は仮説であるため収束し、2番目の合計の収束は前述の定理に従います。
しかし、ディリクレの基準の通常の証明は部分和分によって行われるため、これはあなたの議論を改善するものではありません。