アーベル多様体の約数はどのスキームですか？
しましょう $X$ 代数的閉体上の滑らかで射影的な還元可能なスキームであること $k$。アーベル多様体がいつ存在するかを理解しようとしています$A$ そのような $X$ 上の素数除数と同型です $A$。
もちろん、いくつかの単純なケースがあります。場合$X$ はゼロ次元、つまり点であり、楕円曲線の同一性と同型です。 $E$ 以上 $k$、したがって、それはの約数です $E$。場合$X$ 属です $1$、次に選択した場合 $k$-ポイント、次に $X$は楕円曲線です。次に$X$ 対角線と同型です $\Delta\subset X\times X$、これは除数です。以来$X$ 楕円曲線です、 $X\times X$アーベル多様体でもあります。場合$X$ 属の曲線です $2$、その後のヤコビアン $X$ は2次元であるため、 $X$ 余次元1であるため、埋め込み $X\rightarrow \text{Jac}(X)$ 識別できます $X$ の約数 $\text{Jac}(X)$。
ただし、これらの単純なケースでは、一般的なケースについてはわかりません。ヤコビアンは属に対してのみ機能します$2$余次元が大きくなる可能性があるため、AlbanseVarietyも役に立ちません。アーベル多様体の約数ではない代数的閉体上の滑らかで射影的な還元可能なスキームの反例はありますか？
回答
ヤコビアンの2を超える属の曲線 $J$簡単です、します。アーベル曲面上の除数だった場合$S$、それから全射があります $J\to S$ 正の次元のカーネルで、の単純さと矛盾します $J$。2より大きい属のほとんどの曲線には、この特性があります。ランダムに選択された例は$y^3 = x^4 - x$。
反例の明らかなクラスは、単線織多様体です。実際、アーベル多様体には有理曲線が含まれていません。
より一般的に、そして同じ理由で、 $X$ は（おそらく特異な）有理曲線を含む代数多様体であり、 $X$ アーベル多様体の部分多様体ではなく、特に除数ではありません。
少し違う味のアルバネーゼを使った別の答えがあります。しましょう$X$ あります $n$-次元と仮定します $h^0(X,\Omega^1_X)<n$。その後、任意のマップ$X\rightarrow A$ どこ $A$ は、アルバネーゼを介したアーベル多様体因子であり、 $n$、 そう $X$アーベル多様体の除数になることはできません。したがって、例として、単連結の多様性を取り上げることができます。もちろん、$\mathbb{P}^1$ トリックを行います。
「随伴関手+翻訳」は私たちにかなりのことを教えてくれることを指摘したいと思います。
しましょう $A$ アーベル多様体であり、次元について言う $n>1$ そしてしましょう $D \subset A$（スムーズとしましょう）除数になります。以来$\omega_A = \mathcal{O}_A$、随伴公式 $$ \omega_D = \omega_A(D)|_D = \mathcal{O}(D)|_D, $$ の通常のバンドル $D$。の翻訳アクションを差別化することによって$A$、0以外のグローバルセクションを取得できます $0 \neq \sigma \in H^0(D,\omega_D)$、その場合、権力 $\sigma^d$ 公演 $H^0(D, \omega_D^d) \neq 0$ すべてのために $d>0$。これは$D$ 非負の小平次元があります： $\kappa(D) \geq 0$。
備考：それは知られています$D$ 単線織多様体 $\implies$ $H^0(D, \omega_D^d)=0$ すべてのために $d > 0$ （そしてその逆は推測です）、それで上記は多かれ少なかれポリッツィの観察の詳細です $D$ 統一することはできません。