アーベル圏における単射の「セットサイズ」基準
で単射的対象を検出するには $R-\mathbf{Mod}$、Baerの基準により、セットサイズのオブジェクトのコレクションのみをテストするだけで十分です。任意のアーベル圏に対してこれをどのように行うのですか？Stacksプロジェクトによると、十分な単射的対象を持つアーベル圏のカテゴリについては、包含ファンクターが正確であり、単射的対象を保存および反映するように、目的のセットサイズのオブジェクトのコレクションを含む、十分な単射的対象を持つ小さなアーベル完全サブカテゴリを見つけることができます。私は、一般的なセットサイズの単射基準を見つけることなく、これを達成する方法を思いつきました。目的のカテゴリは通常、中間ステップを実行することによって構築されます$X_0, X_1, \ldots$そして組合を取ります。各ステップについて$X_n$、の非単射的対象の非単射性の目撃者を追加することができます $X_n$ 次のステップへ $X_{n + 1}$。これとは別に、一般的なセットサイズの単射基準はありますか？証人を追加せずに最初にそれらを含めることができるように。
回答
一般に、単射をテストするのに十分なオブジェクトのセットはありません。
しましょう $\mathcal{C}$序数からアーベル群まで、序数のセットでのみゼロ以外の関手圏のカテゴリになります。つまり、オブジェクト$F$ アーベル群を割り当てます $F(\alpha)$ 各序列に $\alpha$ と準同型 $f_{\alpha,\beta}:F(\alpha)\to F(\beta)$ 序数の各ペアに対して $\alpha\leq\beta$ そのような $f_{\beta,\gamma}f_{\alpha,\beta}=f_{\alpha,\gamma}$ いつでも $\alpha\leq\beta\leq\gamma$、そしていくつかあるような $\alpha$ そのような $\beta\geq\alpha\Rightarrow F(\beta)=0$。そして射$F\to G$ 準同型のコレクションです $F(\alpha)\to G(\alpha)$ 明らかな正方形が通勤するように。
次に $\mathcal{C}$ アーベル圏です（いつ制限があるため、局所的に小さい） $F(\alpha)\neq0$）。
そのファンクターは簡単にわかります $S_{\alpha}$、 どこ $S_{\alpha}(\alpha)=\mathbb{Z}$ そして $S_{\alpha}(\beta)=0$ ために $\beta\neq\alpha$、単射ではありません。しかし、あなたが任意のセットを選ぶなら$\mathcal{F}$ オブジェクトの、そしていくつかの序列があります $\alpha$ そのような $F(\beta)=0$ すべてのための $F\in\mathcal{F}$ そしてすべて $\beta\geq\alpha$。したがって、ゼロ以外の射はありません$F\to S_{\alpha}$ ために $F\in\mathcal{F}$、そしてその事実 $S_{\alpha}$ 単射ではないのオブジェクトのみを使用して検出することはできません $\mathcal{F}$。
上記の例を投稿した後、上記のカテゴリよりも不自然なカテゴリを含む、かなり興味深い関連結果について聞いたことを思い出しました。
ŠarochとTrlifajのこの最近の論文の補題2.5から、$R$ は完全環ではないので、次のカテゴリにあるかどうかにかかわらず、ZFC（集合論の通常の公理）から独立しています。 $R$-モジュール射影変換をテストするのに十分な一連のエピモルフィズムがあります。[実際、これはTrlifajのはるかに初期の論文で証明されましたが、私がリンクした論文の記述はあまり技術的ではありません。]
これは、アーベル群のカテゴリの反対のカテゴリがOPの質問に答えるかどうかは、ZFCから独立していることを意味します。