$a\in \mathbb{N}$、 $p$ プライム、 $a<p$ 証明してください $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [複製]

Question

$a\in \mathbb{N}$、 $p$ プライム、 $a<p$ 証明してください $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

私の試み：

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ 。

与えられた使い方がわからない
$a\mid p+1$

Answer 1

我々は持っています $ a \mid p+1$ だから $\lambda$ そのような $\lambda a =p+1$。今で割る$ \lambda p$＆ \ begin {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}があります。\ end {eqnarray *}

他の含意：私達は持っています $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ または $abc=p(b+c)$。これに掛ける $a$ ＆再配置 $(ab-p)(ac-p)=p^2$。

これは3つの可能性を与えます $ab-p=1$ または $ac-p=1$＆結果は次のとおりです。または$ab-p=p,ac-p=p$ これは $ab=ac=2p$ そう $a=1$ または $a=2$ そして再び結果が続きます。