$A$ 実数行列であり、一部の場合 $k\geq 2,A^{k}$ 直交行列に似ています、証明する方法 $A$ 直交行列にも似ていますか？

Aug 17 2020

私の試み。

$A^{k}=POP^{-1}$。ここに $O$ は直交行列です。直交行列を見つけたいです。 $O_{1}$ そして $O_{1}^{k}=O.$ 可逆行列は常に「平方根」を持っているので、これは可能だと思いますが、これが可能であったとしても、$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$これはまだ情報を提供しません $A$。だから、いくつかの正規の形式によって与えられた情報を使用する方法 $A^{k}$ に関する情報を見つけるには $A$？

さらなる試み。

多分私はこの問題を考慮すべきだと思います $\mathbb{C}.$そう $O$ は特別な複素正規行列です。したがって、スペクトル定理によって $O$ 対角化可能です $\mathbb{C}$。これの意味は $A^{k}$ は対角化可能であり、固有値の絶対値は1です。A.Soも同様です。 $A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$ Mが上の直交行列に類似していることは明らかです。 $\mathbb{C}.$

私たちが考えるだけなので、この証明はかなり奇妙です $\mathbb{R}$ 直交行列について話すとき、問題自体は私たちが使用するフィールドを述べていません。

より良い解決策はありますか？

回答

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

私が想定し $P$は実数値の行列です。（必要な場合$\mathbb C$ 以下は、代わりにエルミート形式を考慮するように少し変更できます。）

によって与えられる座標ベクトル空間を考えてみましょう $V=\mathbb R^n$ によって与えられるこの空間の線形演算子 $T:= P^{-1}AP$。それを示すだけで十分です$T$実際の直交行列に似ています。以来$T^k$ 正則であるため、 $T$。

と $\langle, \rangle$標準の実内積を示し、次のカスタム対称双線形形式を定義します。ために$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$。
この形式が明確であることがすぐにわかります。追っての通知

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

これは、 $T$ カスタム双線形形式に関する直交演算子です。

次に、の画像を計算します $T$ よく選択された基準に関して
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
どこ $\mathbf B$カスタム双線形形式に関して正規直交基底になるように選択され、$Q$いくつかの行列です。私たちのベクトル空間は$V=\mathbb R^n$、私たちは注意します $\mathbf B$ 可逆行列として解釈される場合もあります。

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$標準の内積に対して直交しています。

最終的に
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

したがって、 $T$ 直交行列に似ています

その詳細な正当化 $Q^TQ = I$：
$v = \mathbf B\mathbf x$ そして $v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$ そして $\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
そして実質的に同一の計算によって $\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
意味が続くところ $\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
上記は任意の選択に当てはまるので $\mathbf x$ そして $\mathbf y$ 私たちはそれを結論付けます $Q$標準の内積に対して直交しています。

注
上記は、理由の証拠にもなります$M^k = I$ ことを意味します $M$ 対角化可能です $\mathbb C$、なので $I$これは、実際の直交行列の特殊なケースです。上記はそれを示しています$M$ スペクトル定理により対角行列に類似している実際の直交行列に類似しています（ $\mathbb C$）。このサイトに表示されるこの結果の標準的な証明は、最小多項式の引数を使用しますが、最小多項式はOPの質問にも当てはまらないようです。